(泰勒公式文献综述.docVIP

泰勒公式及其应用 前言： 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。 正文： 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。 泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。 十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常难以自圆其说，甚至自相矛盾。极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面，直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳·波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的人的重视，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢占。1820年，法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的全面的证明。但柯西的极限定义中应用了描述性的语言“无限的趋近” “随意小”这些词汇，使得计算不够精确。在这一点上后来德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法，并且获得了圆满的解决。至此，极限概念和极限理论才被完全地确定了下来。 由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了。泰勒公式的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用。 展开式： 泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式(-级数)来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导数)的导数求得。 对于正整数n，若函数在闭区间上阶连续可导，且在上阶可导。任取是一定点，则对任意成立下式： 其中，表示的n阶导数，多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。 余项： 泰勒公式的余项可以写成以下几种不同的形式： 1、佩亚诺(Peano）余项： 这里只需要n阶导数存在 2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项： 其中θ∈（0,1）。 3、拉格朗日（Lagrange）余项： 其中θ∈（0,1）。 4、柯西（Cauchy）余项： 其中θ∈（0,1）。 5、积分余项： 以上诸多余项事实上很多是等价的。 麦克劳林展开 函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若 在x=0处n阶连续可导，则下式成立： 其中表示的n阶导数。[1]? 泰勒中值定理 若在包含的某开区间（a，b）内具有直到n+1阶的导数，则当x∈（a，b）时，有 其中是n阶泰勒公式的拉格朗日余项： 多元泰勒公式 对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a,r) 是欧几里得空间RN中的开球，? 是定义在B(a,r) 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这时的泰勒公式为： 对所有 小结： 众所周知， 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面 重庆理工大学毕业论文