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专题三 角平分线在圆中的应用 一、教学目标： 1、知识与技能：培养学生在新的平台——圆上，综合运用相关知识的能力. 2、过程与方法：培养学生观察图形,研究问题的能力,掌握等量变化的技巧. 3、情感态度与价值观：指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学，而且会学数学。 二、教学重点、难点： 1、教学重点：角平分线在圆中的应用,落实相关定理. 2、教学难点:在圆中，角的关系通常要借助弦、弧进行等量的代换，找到等量关系是难点. 三、教学方法：引导发现、练习提高 四、教学手段：多媒体电脑、黑板 五、具体内容： （一）复习引入 角平分线的常用使用环境 基本图形 当角平分线构成的等量关系和“圆”结合的时候，可以转化成“等角、等弧、等弦”互化问题. （二）例题 例1 （09潍坊中考）如图1所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI 交圆O于点D，连结． （1）求证：； （2）若圆O的半径为10cm，，求的面积． 设计思想:这是一道利用“等角、等弧、等弦”代换等量关系的基本题目. 分析:欲证弦BD、DC相等,只需找到对应的圆周角相等即可;接下来证明DB=DI ,只需证明∠DBI =∠DIB ,这两个角 ,一个作为外角可以转移成两个内角和,一个可以拆成两角和,经过等量代换即可证得.关于面积,只需要找到60°的特殊角,得到是等边三角形就很易求出了. （1）证明：∵AI平分, ∴∠BAD=∠DAC. ∴BD=DC. ∵BI平分∠ABC, ∴∠ABI=∠CBI. ∵∠BAD=∠DAC, ∠DBC=∠DAC, . 又, ∴∠DBI=∠DIB. ∴△BDI为等腰三角形. ∴BD=ID. ∴BD=DC=DI. （2）解：当时，为钝角三角形， 圆心O在外， 连结， ， ， 为等边三角形． 又知， . 点拨:. 本道例题是角平分线构成的等量关系和“圆”结合的问题，可以转化成“等角、等弧、等弦”互化问题. 例2 如图1，在R t△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB与D，AE平分∠BAC交BC于E，过C、E、D三点作圆，交AE与G , CD、AE交于F点. 求证: AG=FG . 设计思想:这道题上了个台阶,要证的等量关系与圆并无直接关系,需要借助直角三角形转化成证明等角关系. 分析：本题要证明的是结论AG =GF，即G是AF的中点，因∠CDA是直角，那么AF是斜边,这时只能借助斜边的中线沟通它们之间的关系.连结DG后,只需证明DG分出的两个三角形为顶角是邻补角的两个等腰三角形即可,所以必须沟通它们之间的角关系,这样圆内接四边形的作用就显示出来.因此要很好地体会圆内接四边形的作用,沟通圆内、外图形的关系. 证明:连结DG . ∵D、G、C、E四点共圆, ∴∠BCD =∠DGE. ∵∠BCA= 90°,且CD⊥AB, ∴∠BCD=∠BAC. 即∠BAC=∠DGE. ∵∠DGE=∠DAG +∠GDA, ∴∠BAC=∠DAG +∠GDA. ∵AE平分∠BAC, ∴∠DAG =. ∴∠DAG =∠GDA. ∴AG = GD. ∵CD⊥AB, ∴ ∵∠ADG+∠GDF=90°, ∴∠GDF=∠DFG.. ∴GD=GF. ∴AG=GF. 点拨：此例是圆内接四边形知识与直角三角形的知识相结合构成的命题，是角平分线使用的最基本类型，即利用角平分线构成的角的等量关系来做题。 例3 （09北京）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC, AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M, 经过B、M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F, FB恰为⊙O的直径. （1）求证：AE与⊙O相切； （2）当BC = 4,cos C =时，求⊙O的半径. 设计思想:综合运用圆的切线、三角形的相似、角平分线与平行线的关系. 分析:要证明AE是切线,容易想到连结MO,只要证明∠AMO = 90°即可.另一方面,当我们看到等腰△ABC中角平分线AE时,根据“三线合一”性质可得∠MEB = 90°.把这两个垂直关系联系起来的桥梁就是BM这条角平分线和OB、OM（1）证明：连结OM，则OM＝OB． ∴∠１＝∠２. ∵BM平分∠ABC， ∴∠１＝∠３. ∴∠２＝∠３. ∴OM∥BC. ∴∠AMO=∠AEB. 在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线， ∴AE⊥BC． ∴∠AEB＝90°， ∴∠AMO = 90°, ∴OM⊥AE，又OM是⊙O半径， ∴AE与⊙Ｏ相切． （２）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线． ∴，∠ABC＝∠Ｃ． ∴BC = 4,cos C=, ∴BE = 2,cos∠ABC =. 在△ABE中, ∠AEB = 90°, ∴AB==6, 设⊙O的半径为r,则AO=