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第二讲角平分线模型的构造 3月 角平分线 (l)定义：如图2-1，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，像OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线． (2)角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型， 已知P是∠MON平分线上一点， (l)若PA⊥OM于点A，如图2-2(a)，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”． (2)若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”． (3)若AP⊥OP于点P，如图2-2(c)，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”． (4)若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图2-2(d)，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”． 例1 (1)如图2-3(a)，在△ABC中，∠C=90。，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D 到直线AB的距离是（ ）cm. (2)如图2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AP平分∠BAC． 例2 如图2-4(a)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F ⑴求证：CE= CF. ⑵将图2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A，D，E，的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图2-4(b)所示．试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论． 例3 阅读下列学习材料： 如图2-5(a)所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB =OA，连接BC(如图2-5(b))，易证△AOC≌△BOC. 请根据上面的学习材料，解答下列各题： (l)如图2-5(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由． (2)如图2-5(d)所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－ PB与AC－AB的大小，并说明理由． 例4 如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E， 求证：BD=2CE. (1)如图2-7(a)，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD上BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE. 求证：DE∥BC，DE=(AB+BC+AC)； (2)如图2-7(b)，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其它条件不变； (3)如图2-7(c)，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其它条件不变， 则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。 变式 如图2-8，在△ABC中，AB=3AC, ∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE 例6 如图2-9(a)，AB=AC，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB.问： (l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？ (2)过D点作EF∥BC，如图2-9(b)，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形？ (3)如图2-9(c)，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？ (4)如图2-9(d)，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG. DE∥BC交AB于点E，交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由． (5)如图2-9(e)，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于