2016高考数学大一轮复习85空间向量及其运算教师用书理苏教版..docVIP

§8.5　空间向量及其运算 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，a与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa. 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta，① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝ 1 . (3)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底． 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)． ②交换律：a·b＝b·a. ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及应用 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　√　) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　) (5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　) (6)|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件．(　×　) 1．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝ (用a，b，c表示)． 答案　－a＋b＋c 解析　＝＋＝＋(－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 ．(填序号) ①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0. 答案　③ 解析　∵＋＋＝0， ∴＝－－， 则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面． 3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是 ． 答案　和 解析　因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)． 4．如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ (用a，b，c表示)． 答案　a＋b＋c 解析　＝＋＝＋＋ ＝a＋b＋c. 题型一　空间向量的线性运算 例1　三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，. 思维点拨　利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可． 解　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋[(＋)－] ＝－＋＋. ＝＋＝－＋＋ ＝＋＋. 思维升华　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则． 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示. 解　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－－. 题型二　共线定理、共面定理的应用 例2　已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH； (3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)． 思维点拨　对于(1)，只要证出向量＝＋即可；对于(2)，只要证出与共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，