2016高考数学大一轮复习82空间点直线平面之间的位置关系教师用书理苏教版..docVIP

§8.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．定理 (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． (2)过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　√　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　×　) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　×　) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　√　) 1．下列命题正确的个数为________． ①梯形可以确定一个平面； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 答案　2 解析　②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确． 2．(2014·广东改编)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是________． ①l1⊥l4； ②l1∥l4； ③l1与l4既不垂直也不平行； ④l1与l4的位置关系不确定． 答案　④ 解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除①和③.若l4＝DC1，也满足条件，此时l1与l4相交，可以排除②.故l1与l4的位置关系不确定． 3．(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是_____________________________． 答案　45°　60° 解析　∵BC与EG所成的角等于AC与BC所成的角即∠ACB，tan∠ACB＝＝＝1，∴∠ACB＝45°， ∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°. 4．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥(AC＋BD)；②MN(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN(AC＋BD)． 其中正确的是________． 答案　④ 解析　如图，取BC的中点O， 连结MO、NO， 则OM＝AC，ON＝BD， 在△MON中，MNOM＋ON ＝(AC＋BD)，∴④正确. 题型一　平面基本性质的应用 例1　如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点． 思维点拨　第(2)问先证CE与D1F交于一点，再证该点在直线DA上． 证明　(1)连结EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EFCD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P， 则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点． 思维升华　公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据． 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠B