6离散时间信号与系统的时域分析..doc

第6章 线性时不变离散系统的时域分析 6.1 学习要求 （1）掌握离散信号的基本描述方法、分类及其基本运算； （2）掌握离散时间系统的差分方程描述； （3）熟练掌握系统的单位样值响应； （4）熟练掌握卷积和的概念及计算； （5）掌握系统零输入响应和零状态响应的求解方法； （6）了解离散相关的概念和性质。 6.2学习重点 （1）系统的单位样值响应的计算； （2）零输入响应和零状态响应的求解方法； （3）卷积和的概念及计算。 6.3知识结构 6.4内容摘要 6.4.1 离散时间信号的定义 离散时间信号是指仅在不连续的离散时刻有确定函数值，而在其它点上函数值未定义的信号，简称离散信号，也称序列，常用表示。 6.4.2 常用的时间序列 （1）单位样值序列 （2）单位阶跃序列 和的关系： （3）矩形序列 矩形序列与阶跃序列、样值序列的关系： （4）正弦序列 式中，A为幅度，为起始相位，为正弦序列的数字域频率，。 （5）实指数序列 波形特点为：＞1时，序列发散；时，序列收敛；当为负数时，序列值正负摆动。 （6）复指数序列 其中，为复正弦序列的数字域频率，表征了复正弦序列的幅度变化情况。 （7）周期序列 对于任意整数，若（为某一最小正整数），则序列是周期序列，就是该序列的周期。 正弦序列的不一定是周期序列，只有当（k为整数）即有理数时，才是周期为N的周期序列。 当是无理数时，此时正弦序列不是周期序列。 6.4.3 序列的运算 （1）.移位： （1）.翻褶： （3）加减： （4）乘积： （5）差分： 前向差分： 后向差分： （6）尺度变换 抽取：由得到, 正整数。例如，，，相当于两个点取一点，以此类推。 插值：由得到,为正整数。例如，，,相当于两个点之间插一个点，以此类推。 6.4.4离散卷积和 定义：已知序列、，它们的卷积和定义为 记作。 求解：卷积和运算可以分解为四步：反褶、位移、相乘和相加。基本步骤与卷积积分相似 性质：离散序列卷积和的代数运算与卷积积分有相似的规律，卷积和也服从交换律、分配律和结合律。即 6.4.5离散时间系统的差分方程建立 一个阶线性常系数差分方程一般形式为 或者 6.4.6离散系统的求解 （1）递推法 差分方程最原始的求解方法就是递推法，其原理是利用前一时刻的函数值经递推得到当前时刻的函数值。 递推法求解常系数线性差分方程的方法较为简单，但常常只能得到方程的数值，而不易得到其闭合形式(公式)解。 （2）经典解法 与微分方程的经典解法类似，将差分方程的解分成齐次解和特解。 求齐次解 一般齐次差分方程表示为 为常数 齐次解通解的一般形式为 式中，是阶重根；为其余个单根 求特解 特解的函数形式取决于激励的函数形式。为求得特解，需根据差分方程右端项选择合适的特解函数式（见下表6.4.1），代入方程后求出待定系数。 表6.4.1 几种典型的激励函数所对应的特解函数式 序号 激励函数 强迫响应的形式 1 (常数) (常数) 2 3 4 5 6 7 8 （是特征方程的一个重根） （）：如果为，其中是特征方程的一个重根（即与中的一项具有相同形式的次重根），那么强迫响应的表达式也必须乘以。 （3）零输入响应与零状态响应解法 根据线性系统定义，系统的完全响应可由零输入响应和零状态响应两部分组成。 零输入响应是激励为零时，仅由系统的初始条件所产生的响应，用表示，它是齐次方程的解，一般形式为 其中为阶特征重根；为单根（），待定系数只由系统的初始条件决定。 零状态响应是非齐次方程的解，它一般应包括两部分—齐次解和特解，可表示为 系统的全响应为 6.4.7单位样值响应 （1）单位样值响应的定义与求解 设系统的输入为单位样值序列，即，且系统输出的初始状态为零，在这种条件下系统输出称为系统的单位样值响应，用符号表示，公式表示为 可用来表征系统的时域特征。 单位样值响应的求解一般有两种方法： 递推法：适用于低阶系统 把激励信号等效为初始状态，从而将求单位样值响应问题转化为求零输入响应的问题。 （2）离散系统因果性与稳定性的判断 线性移不变系统是因果系统的充要条件是 线性移不变系统是稳定系统的充要条件是 利用卷积和求系统的零状态响应 6.4.8单位阶跃响应 当离散时间系统的输入为单位阶跃序列时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用符号表示。 单位阶跃响应与单位样值响应的关系可以表示为 因果系统有 因此，线性时不变离散系统的阶跃响