杨辉三角形解析.ppt

杨辉三角形 第三组： 汪元正，顾天昀，王金典，赵诗桐，沈逸恺 友情提示 1.最后有题目 2.部分摘自百度，如有撞词勿怪 3.有问题处请大家指出 4.对杨辉三角涉及不深，无法深入表达主观内容，见谅 ok，开始 先来看一段视频 杨辉三角形的历史 扫盲：杨辉三角最开始不是杨辉提出，只是因为杨辉对这方面的贡献，所以用他的名字来命名此。 历史： *近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是 “中国三角形” 1.首先，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。 2.杨辉，在1261年著《详解九章算法》，辑录了三角形数表，称之为“开方作 法本源”图，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。 3.元朝的朱世杰在1303年《四元玉鉴》中扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图” 4.意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。 5.在欧洲，直到1623年以后，13岁的法国数学家帕斯卡发现了“帕斯卡三角”。 6.帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛。 很让人自豪啊 对杨辉三角有贡献的数学家们 ·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 ·杨辉 中国南宋1261《详解九章算法》记载之功 ·朱世杰中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式 ·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》 ·阿皮亚纳斯德国 1527 ·米歇尔`斯蒂费尔德国 1544《综合算术》二项式展开式系数 ·薛贝尔 法国 1545 ·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 为他们鼓掌！！ 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。对贾宪三角的研究有较大贡献。 三角 三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形是最基本的多边形。 杨辉 小学数学？？？？？ 杨辉三角基本性质 每个数等于它上方两数之和。 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。 第n行的数字有n项。 第n行数字和为2n-1。 第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。 稍微复杂一些的 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。 (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。 将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字1放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。 杨辉三角的应用 性质5和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质 8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即 ，以此类推。 又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为： 二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 数在杨辉三角中出现的次数 由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... 。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... 除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。 因为丢番图方程