构造全等三角形(常见辅助线法)解析.ppt

连线 构造全等 Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质” Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质” Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质” △ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F。 求证：BE=CF 如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直AB交AB的延长线于点F，EG垂直AC交AC于点G。求证：(1)BF=CG (2)判定AB+AC与AF的关系 角平分线上点向两边作垂线段 * A B D E F M N ∟ ∟ 如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D. A C B D 连接AC 构造全等三角形 连线 构造全等 如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长. 连接BD 构造全等三角形 A C B D O 如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若AD为△ABC的中线， 必有结论： A B C D E 1 2 延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。 △ABD≌△ECD， ∠1=∠E， ∠B=∠2， EC=AB，CE∥AB。 已知，如图AD是△ABC的中线， A B C D E 延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE. 思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？ 倍长中线 已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2 求证:AB=AC+CD A D B C E 1 2 在AB上取点E使得AE=AC，连接DE 截长 F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF 补短 A 1 B C D 2 3 4 如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB E F 在AB上取点F使得AF=AD,连接EF 截长补短 证明： 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° D A B C E 在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中 ∵ AB=EB（已知） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△ABD≌△EBD（S.A.S） 1 2 4 3 ∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定义）， ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换） 3 2 1 * ∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） ∴DE=DC（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角） AD=DE（全等三角形的对应边相等） 证明: 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° D A B C F 延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△BFD和△BCD中 ∵ BF=BC（已知） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△BFD≌△BCD（S.A.S） 1 2 4 3 ∵ ∠F＝∠C（已证）∴∠4=∠C（等量代换） 3 2 1 * ∴ ∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等） ∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证） ∴DF=AD（等量代换） ∴∠4=∠F（等边对等角） ∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定义） ∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换） DF=DC（全等三角形的对应边相等） 练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B A B C D E 1 2 2 1 证明: 在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 ∵ AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△AED和△ACD中 ∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证） AD=AD（公共边） ∴△AED≌△ACD（S.A.S） 3 ∴∠B=∠4（等边对等角） 4 * ∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) 又∵ AB=AC+CD=AE+EB（已知） ∴EB=DC=ED（等量代换） ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ∴∠C=2∠B（等量代换） ED=CD（全等