§22运动方程式的建立..docVIP

§2.2 运动方程的建立方法 对具有集中参数的旋转电机，运动方程通常有两部分组成：一组是电路方程，也就是系统的电压方程；另一组是机械方程，也就是系统的转矩方程。 建立运动方程的方法通常有三种： 动态耦合电路法； 变分原理法； 传统法； 由于传统法在前面几章里已经介绍，所以本节仅说明前两种方法。 动态耦合电路法 这种方法就是把处于运动状态的机电系统作为一个动态电路来看待。这样，利用基尔霍夫定律就可以列出系统的电压方程，利用牛顿定律或达朗贝尔原理，就可以列出系统的转矩方程。 由于机电系统是一种动态电路，所以于一般的静止电路相比较，所建立的电压方程中出现一项有机械运动引起的感应电势，另外，于一般的纯机械相比较，转矩方程中多出一项电磁起因的转矩项，总之，在运动方程中多出一项机电耦合项，运动电势可以由法拉第电磁定律导出，电磁转矩可以用虚位移法和能量守恒原理导出。下面以双边激励的机电系统为例，建立起运动方程。 对于图所示的双边激励的机电装置，电路方程包括定子绕组和转子绕组两个电压方程。在线性情况下，根据基尔霍夫定律和法拉利电磁感应定律可知， 式中，为定子和转子绕组的端电压； ，为定转子电流； ，为定子和转子的绕组。 这两个式子中含有的项就是转子旋转引起的运动电势项。 若为电磁转矩，为轴上的负载转矩，为旋转阻力系数，为转动部分的转动惯量，则根据牛顿运动定律，转矩方程为 其中 为分原理法 动态耦合电路法是用电学，力学的基本定律和能量守恒原理列出系统运动的。从数学物理方法上来看，他们是一组有关系统微增变化的“微分原理”作为出发点的，另外一种方法是，通过求出系统的某个特定状态函数的积分函数（范函）极值，来确定机电系统的运动方程，这种方法叫做变分原理法。变分原理法是从联系机电系统的总体运动的“几分原理”作为出发点的。变分原理法的优点是通过变分原理，可以自动导出运动方程的机电耦合向。另外，处理问题的步骤比较单一和系统化，缺点是物理上不太直观，不易于较快的动产系统的内部关系。 通常公认的基本积分原理是汉密尔顿原理，它既适合于力学系统，又适用于电学系统，是个比较普遍的原理，对分析机电系统十分有用。 先介绍一下广义坐标的概念。 广义坐标 从动力学的观点来看，可以把物理系统看成是有许多互相连接并受到一定约束的质点或元件所组成，对于静力学系统，可以用称为“坐标”的量来描述系统的即时状态。但对于动力学系统，除坐标外，还要加上坐标的导数，即速度，才能完整地描述一个系统。坐标和速度两者，就成为系统的动力学变量。 一个系统的动力变量不能全部任意选定，因为他们可能不全是独立的，究竟有多少个独立变量，取决于系统的约束条件。若系统的自由度位N，就可以有N个坐标，这一最低数目的独立坐标，就称为广义坐标，广义坐标通常用表示，……?N. 广义坐标的导数就称为广义速度，用表示，机电系统的即时状态，就有该时刻的N 个广义坐标和N 个广义速度所确定。 拉格朗日状态函数 机电系统的储能是一个状态函数。系统的储能可以分为动能（动共能）和位能两类。 对于机械系统，动能就是指物体运动时期中所储存的与速度有关的能量，根据动力学可知，物体的动能 对于平移运动为 对于旋转运动为 式中 为物体的质量； 为物体的转动惯量。 位能就是指物体内储存的仅与位置有关的能量，例如受压的弹簧，其位能为 式中为弹簧的弹性系数 对电磁系统，若选择电荷q作为点的广义坐标，电流i作为广义速度，则因电容器内部储存的能量（电场能量）仅与q有关，故可作为位能，即 相应的，因电感内储存的（磁场储能）与电的广义速度有关，故可作为动能，即 总之，不论是机械系统还是电磁系统，位能仅为广义坐标的函数，动能仅为广义速度的函数，有时也于广义坐标有关。 若系统为线性，用动能T减去位能V所定义的状态函数，就成为拉格朗日状态函数，用L表示，即L=T-V 式中 T 为机电系统的总动能，包括机械系统的动能和电磁系统的磁场储能； V 为机电系统的总位能，包括机械系统的位能和电磁系统的电场储能； 一般来讲，拉格朗日状态函数L是广义坐标，广义速度和时间三者的函数，即 若系统为非线性，需引进动共能此时拉格朗日状态函数定义为 汉密尔顿原理和拉格朗日方程 机电系统的运动方程可用不同的方法建立，但是，无论运动方程怎样推导，一个机电系统的仅能有一条动力路线来描述。汉密尔顿原理的含义是：做 拉格朗日状态函数在时间 和 之间的积分I: 对于保守系统，有状态函数所描述的系统的真正（实际）动力路线，是使 的变分为零，亦即使达到极值时所确定的路线。 根据变分原理，若 个坐标均为独立变量（即为广义坐标），则积分达到极值的条件是 …… 上式就是拉格朗日方程，实际上是一个方程组，他有 各方成组成，其中