二次函数解答题..doc

二次函数解答题 1.（2015?四川凉山州第28题12分）如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点． （1）求m的值． （2）求A、B两点的坐标． （3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值． 考点： 二次函数综合题．. 分析： （1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于0可求得m的值； （2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标 （3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得△ABC的面积，再利用a、b表示出△PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值． 解答： 解： （1）∵抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上， ∴方程x2﹣（m+3）x+9=0有两个相等的实数根， ∴（m+3）2﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9， 又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0， ∴m=3； （2）由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣6x+9，联立一次函数y=x+3， 可得，解得或， ∴A（1，4），B（6，9）； （3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T， ∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b）， ∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a， ∴S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15， S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP=（9+b）（6﹣a）﹣（b+4）（1﹣a）﹣×（4+9）×5=（5b﹣5a﹣15）， 又S△PAB=2S△ABC， ∴（5b﹣5a﹣15）=30，即b﹣a=15， ∴b=15+a， ∵P点在抛物线上， ∴b=a2﹣6a+9， ∴15+a=a2﹣6a+9，解得a=， ∵﹣3＜a＜1， ∴a=， ∴b=15+=． 点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点．在（1）中由顶点在x轴的正半轴上把问题转化为二元一次方程根的问题是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中用P点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难度． （2015?四川攀枝花第24题12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式， （2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=﹣t2+t，即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值， （3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，根据直线BC的解析式为y=﹣x+3，过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，得Q的坐标为（2，3），根据PM的解析式为：x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，得M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，根据得点Q的坐标为（，﹣），（，﹣）． 解答： 解：（1）由得，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3， （2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴， 则S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t ∵﹣＜0， ∴当t=﹣=时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是； （3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q ∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3， ∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5， 由得Q的坐标为（2，3）， ∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3， ∴M的坐标为（1，2）， 设PM与x轴交于点E， ∵