随机排队论[精选].ppt

数学建模 主讲 薛长虹 E-mail 地址: chxue@ QQ: 315165 数学建模网上之家 薛老师主页： 《长虹雪苑》之数学建模天地 http:// chxue . 全国数学建模主委会主页： 电邮地址： chxue180@126.com chxue180@163.com chxue180@ chxue180@ chxue180@ 随机排队模型 排队论起源于20世纪初的电话通话。1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗（A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立许多基本原则。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。 20世纪30年代中期，当费勒(W.Feller)引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认为一门重要的学科。在第二次世界大战期间和第二次世界大战以后，排队论在运筹学这个新领域中变成了一个重要的内容。20世纪50年代初，肯达尔(D.G.Kendall)对排队论作了系统的研究，他用嵌入马尔柯夫(A.A.Markov)链方法研究排队论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先（1951年）用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。其中A表示顾客到达时间分布，B表示服务时间的分布，C表示服务机构中的服务台的个数。 排队论应用范围极广，在通讯问题、公共服务问题、救护公安系统、存量问题、生产线问题、计算机配置问题和交通问题皆有应用，有时一个排队问题里顾客与服务台的关系也并非固定的，甚至可以相互颠倒，例如出租汽车排队等待顾客，而有时也是顾客排队等车子，汽车驾驶员和乘客都关于自己的等待时间而互相以对方为服务台。何者为顾客，何者为服务台通常是视问题侧重面或者解决问题的方便与否来决定，排队论是可以灵活加以运用的。 排队论主要指标的概率特性 排队论主要研究描述系统的一些主要指标的概率特性，分为三大部分： ①排队系统的性态问题。 研究排队系统的性态问题就是研究各种排队系统的概率规律，主要包括系统的队长、顾客的等待时间和逗留时间以及忙期等的概率分布，包括它们的瞬时性质和统计平衡下的状态。排队系统的性态问题是排队论研究的核心，是排队系统的统计推断和最优化问题的基础。从应用方面考虑，统计平衡下的各个指标的概率性质尤其重要。 排队论主要指标的概率特性 ②排队系统的统计推断。 为了解和掌握一个正在运行的排队系统的规律，就需要通过多次观测、收集数据，然后用数理统计的方法进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律，从而应用相应的理论成果来研究和解决该排队系统的有关问题。排队系统的统计推断是已有理论成果应用实际系统的基础工作，结合排队系统的特点，发展这类特殊随机过程的统计推断方法是非常必要的。 ③排队系统的最优化问题 排队系统的最优化包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制（动态最优），前者是在服务系统设置之前，对未来运行的情况有所估计，使设计人员有所依据， 排队服务系统的例子与基本概念 排队是日常生活和工作中常见的现象，例如： 上下班坐公共汽车的排队； 顾客到商店购物形成的排队； 病人到医院看病形成的排队； 往售票处购票形成的排队等； 另一种排队是物的排队，如文件等待打印或发送； 路口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口。 泊松分布 当满足以下三个条件时，称顾客的到达形成泊松分布流 无后效性：在不相交的时间区间内顾客到达数是相互独立的。 平稳性：对于充分小的时间间隔 内有1个顾客到达的概率只与时间段的长度有关，而与起始时刻 t 无关。且 其中 为单位时间内有一个顾客达到的概率，称为概率强度。 负指数分布 当顾客流为泊松流时，用T表示两个相继到达顾客的时间间隔，其服从负指数分布，与概率强度为 的泊松流等价。在排队模型的记号中都用M表示。 符号说明 Ls:队长指系统中顾客数的期望值。 Lq:排队长指在系统中排队等待服务顾客数的期望值。 Ws:逗留时间指一个顾客在系统中停留时间的期望值。 Wq:等待时间指一个顾客在系统中排队时间的期望值。 Tb:忙期指服务机构连续工作的时间长度。 Pn(t):t时间内到达n 个顾客的概率。 R= ：单位时间内平均到达的顾客数。 ：平均服务率即单位时间内平均被服务完的顾客数。 T=1/ ：平均服务时间。 Load= / =R*T：是系统到达负荷。 LINGO程序 MODEL: 1] S=1;R=4;T=6/60;load=R*T; 2] Pwait=@peb(load,S); 3] W_q=Pwait*T/(S-loa