第4章 (弹力)平面问题的极坐标解答13.ppt

* * * §4-8 圆孔的孔口应力集中 工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。 §4-8 圆孔的孔口应力集中 本节研究“小孔口问题”，应符合 （1）孔口尺寸＜＜弹性体尺寸 孔口引起的应力扰动局限于小范围内。 （2）孔边距边界较远 （＞1.5倍孔口尺寸） 孔口与边界不相互干扰。 §4-8 圆孔的孔口应力集中 应力集中：由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。 应力集中系数： 与孔的形状有关，大小几乎无关，是局部现象； 圆孔为最小，其它形状较大； §4-8 圆孔的孔口应力集中 1. 孔边应力集中问题的求解 带有圆孔的无限大板（B a），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力q作用,求孔边附近的应力。 首先，坐标系的选择：极坐标 §4-8 圆孔的孔口应力集中 取一半径为 r =b (ba），在其上取一点 A 的应力： A b O x y A r A A 由应力转换公式，得到极坐标下应力分量 原问题转化为： 无限大圆板中间 开有一圆孔的新问题。 b §4-8 圆孔的孔口应力集中 §4-8 圆孔的孔口应力集中 b 新问题的边界条件可表示为： 内边界 外边界 将外边界条件分解为两部分： §4-8 圆孔的孔口应力集中 b a b a §4-8 圆孔的孔口应力集中 b a 内边界 外边界 问题1求解 该问题为轴对称问题，其解为 当 ba 时，有 §4-8 圆孔的孔口应力集中 问题2求解 内边界 外边界 b a （非轴对称问题） 由外边界条件，可假设： 为 r 的某一函数乘以 ； 为r 的某一函数乘以 。 又由极坐标下的应力分量表达式： §4-8 圆孔的孔口应力集中 问题2求解 （非轴对称问题） b a 可假设应力函数为： 将其代入相容方程： 整理得到： §4-8 圆孔的孔口应力集中 求得方程的解为： 得到应力函数为： 相应的应力分量： §4-8 圆孔的孔口应力集中 对上述应力分量应用边界条件, 有 内边界 外边界 求解A、B、C、D，然后令 a / b = 0，得 §4-8 圆孔的孔口应力集中 代入应力分量式, 有 问题1求解 问题2求解 两侧均布受拉全解 A b §4-8 圆孔的孔口应力集中 基尔斯 （G. Kirsch）解 P71 4-19 §4-8 圆孔的孔口应力集中 讨论： （1）沿孔边，r = a，环向正应力： 3q 2q q 0 －q 90° 60° 45° 30° 0° （2）沿 y 轴，θ =90°，环向正应力： 1.04q 1.07q 1.22q 3q 4a 3a 2a a r §4-8 圆孔的孔口应力集中 （3）沿 x 轴，θ =0°，环向正应力： 该圆孔在均布拉力作用下应力集中系数： §4-8 圆孔的孔口应力集中 1、集中性：孔附近的应力远大于较远处的应力，且最大和最小应力一般发生在孔边； 2、局部性：开孔引起的应力扰动，主要发生在距孔边1.5倍孔口尺寸范围内，此区域外，由开孔引起的应力扰动一般小于5%，可忽略不计。 孔口应力集中的特点： 注意：圆孔的应力集中程度较低，尽可能采用圆孔形式，应避免凹尖角的孔洞。 §4-8 圆孔的孔口应力集中 思考1：若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2 作用？如何求孔边应力？