单摆与复摆..docVIP

单摆与复摆读书报告 一、知识点简介 绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期只和绳长和当地的重力加速度有关，而与质块的质量、形状和振幅的大小都无关。其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。如果振动的角度大于，则摆不再做简谐振动，振动的周期将随振幅的增加而变大。复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系，又称物理摆。复摆的周期与摆球的尺寸有关。 二、该知识点提出的背景 摆与其性质是由伽利略发现并进行初步研究的。在意大利的比萨城里，17岁的大学生伽利略在教堂时无意中观察到悬在天花板上的挂灯摆动逐渐平息的过程中，每次摆动所用的时间并不改变。这一发现引起了伽利略的思考：是不是其他的摆动也跟吊灯相似，摆动一次的时间跟摆动幅度没关系？吊灯的轻重是否会影响摆动一次的时间？伽利略通过脉搏计时，数着吊灯的摆动次数。吊灯的摆动幅度、摆动速度不同，但两次测量的时间是相同的。回家后，他继续研究，发现并提出了单摆的等时性，即小角度振动的单摆的周期与质块的质量、形状和振幅无关，并通过实验求得单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动。在此基础上，荷兰数学家、物理学家惠更斯经过长期的研究,发现了单摆的周期规律,确定了单摆做简谐运动的周期公式,此公式为单摆做简谐运动时的周期与摆长、重力加速度之间的定量关系。 如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，在重力作用下，摆球为绕通过自身某固定水平轴摆动，视为刚体运动，当摆角不同时其运动方程的解也不同。 三、建立该知识点所经历的困难 首先，伽利略实验所用的大小不同的木球、铁球、石块、铜球，体积都较大，并不能很好地视其为质点，且绳子与小球连接起来也有困难，对摆线的长度也有误差影响。其次，最为困难的是没有标准的计时工具。伽利略按自己脉搏的跳动来计时，发现它们往复运动的时间总是相等的。伽利略无法精确地得到单摆的周期公式。惠更斯在重复伽利略的实验时发现，单摆的等时性只是近似成立，当摆动幅度增大时，摆的周期就会变化。惠更斯出众的数学才能帮助他解决了这一困难。他通过精心研究从理论上证明，真正等时的摆，摆动轨迹是一条摆线．他通过严密的数学计算得到，要使摆动轨迹成一条摆线，单摆摆动时就必须按照一定的规律改变摆线悬点的位置，建立了摆运动的数学理论。 四、对该知识点的描述以及我的理解 单摆：设质点的质量为，绳长为，当绳偏离竖直方向角时，质点受重力和绳的张力作用，重力的切向分力决定质点沿圆周的切向加速度，通过角动量定理得到摆角关于时间的函数。由此可得质点的切向运动方程为 （1） 式中负号表示切向加速度总与摆角增大的方向相反。 1、当很小时，，忽略阻力，式（1）变为 整理后得 （2） 而弹簧阵子运动所满足的方程为 （3） （2）与（3）有相同的形式，因此小角度的单摆也做简谐运动。 方程（3）是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为 ，式中、为任意常数，由初值条件给定。 于是单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动 式中为单摆的角频率 单摆的周期 所以伽利略的结论：单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动得到了验证，并得到了进一步的修正与改进。 结论：当单摆做小角度振动时，单摆的周期，完全决定于振动系统本身的性质，仅与重力加速度和摆长有关，而与摆球的质量无关。 小角度的范围：因为，，故通常规定振动角度 2、当不是很小时，，物体所收的回复力与摆角不成简单的正比关系，因此物体也不再做简谐运动。 任意角度下单摆的周期公式的推导(忽略阻力)： 设摆长为,摆线与竖直方向的夹角为，那么单摆的运动公式为： (2) 令 ，于是有 (2)式改写成： 分离变量得： 其通解为: 给定初始条件(), 则其特解为： , 设，则 又, 化简得到 其中 周期可以用级数表示成： 为摆角，为第一类完全椭圆积分 结论：单摆大角度摆动的周期与单摆的摆角、绳长和当地的重力加速度有关。 3、在实际的振动过程中，单摆会受到阻力的作用，称为阻尼振动。 因为小角度单摆可以参考弹簧振子的运动，所以弹簧振子在弹性力和黏滞阻力的作用下，其运动方程为 ，为与阻尼介质有关的比例系数。 即 定义阻尼系数，固有圆频率，则 (4) 在只存在阻力的情况下，物体的动力学方程为 作变量代换，，则 分离变量并积分，有 解得 （4）的试探解 （5） 将其代入（4）可知，只有时，（5）才是（4）的解。 因此振子作阻尼振动的运动学方程为