同济大学高等数学(第六版)-期末复习提纲(表格版本)..docVIP

第八章 向量与解析几何 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作或 模 向量的模记作 和差 单位向量 ，则 方向余弦 设与轴的夹角分别为，则方向余弦分别为 点乘（数量积） ， 为向量a与b的夹角 叉乘（向量积） 为向量a与b的夹角 向量与，都垂直 定理与公式 垂直 平行 交角余弦 两向量夹角余弦 投影 向量在非零向量上的投影 平面 直线 法向量 点 方向向量 点 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 一般式 点法式 点向式 三点式 参数式 截距式 两点式 面面垂直 线线垂直 面面平行 线线平行 线面垂直 线面平行 点面距离 面面距离 面面夹角 线线夹角 线面夹角 空间曲线： 切向量 切“线”方程： 法平“面”方程： 切向量 切“线”方程： 法平“面”方程： 空间曲面 ： 法向量 切平“面”方程： 法“线“方程： 或 切平“面”方程： 法“线“方程： 第九章 多元函数微分法及其应用 基本概念 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。 多元函数：，图形： 极限： 连续： 偏导数： 方向导数： 其中为的方向角。 梯度：，则。 全微分：设，则 性质 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系： 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 微分法 定义： 复合函数求导：链式法则 若，则 u ， 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） v y 应用 极值 无条件极值：求函数的极值 解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令 ，，， 若，，函数有极小值， 若，，函数有极大值； 若，函数没有极值； 若，不定。 条件极值：求函数在条件下的极值 令： ——— Lagrange函数 解方程组 几何应用 曲线的切线与法平面 曲线，则上一点（对应参数为）处的 切线方程为： 法平面方程为： 曲面的切平面与法线 曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为： 第十章 重积分 重积分 积分类型 计算方法 典型例题 二重积分 平面薄片的质量 质量=面密度面积 利用直角坐标系 X—型 Y—型 P141—例1、例3 （2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ) P147—例5 （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） P141—例2 应用该性质更方便 计算步骤及注意事项 画出积分区域 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性 三重积分 空间立体物的质量 质量=密度面积 利用直角坐标 投影 P159—例1 P160—例2 利用柱面坐标 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: 积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 P161—例3 （3）利用球面坐标 适用范围: 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. 被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如， P165—10-(1) （4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 第十一章曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分 积分类型 计算方法 典型例题 第一类曲线积分 曲形构件的质量 质量=线密度弧长 参数法（转化为定积分） （1） （2） （3） P189-例1 P190－3 平面第二类曲