向量的大小..docVIP

向量的大小，也就向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。注： 1．向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)， ?? 。 因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB向量CD”是没有意义的。 单位向量长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫 做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。 负向量 如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量,也称为相反向量。 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b． 规定：所有的零向量都相等。 当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。 自由向量 始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。 在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。 数学中只研究自由向量。 滑动向量 沿着直线作用的向量称为滑动向量。 固定向量 作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。 位置向量 对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。 方向向量 直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量 设a=（?? ， ?? ），b=( ?? ， ?? )。 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC。 a+b=( ?? ， ?? )。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 OA-OB=BA.即“共同起点，指向被 减” a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y). 如图：c=a-b?以b的结束为起点，a的结束为终点。 交换律：a+(-b)=a-b 实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。 当λ0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或反方向（λ0）上伸长为原来的∣λ∣倍 当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或××反方向（λ0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 实数p和向量a的点乘乘积是一个数。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a·b?/ |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x+y·y。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律） (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) （a+b)·c=a·c+b·c（分配律） 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)2≠a2·b2。 2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。 3．|a·b|与|a|·|b|不等价 4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。 定义：两个向量a和b的向