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第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准 [2013-09-21] 【一】15分）一半径为、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为(). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为. 【参考解答】 以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度分解成纬线切向 (水平方向)分量及经线切向分量. 设滑块质量为，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧处，和球心的连线与水平方向的夹角为. 由机械能守恒得 (1) 这里已取球心处为重力势能零点. 以过的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故 . (2) 由 (1) 式，最大速率应与的最大值相对应 . (3) 而由 (2) 式，不可能达到. 由(1)和(2)式，的最大值应与相对应，即 . (4) 【(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得 . 若，由上式得 . 实际上，也满足上式。由上式可知 . 由(3)式有 . (4)】 将 代入式(1)，并与式(2)联立，得 . (5) 以为未知量，方程(5)的一个根是，即，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解. 于是. 约去，方程(5)变为 . (6) 其解为 . (7) 注意到本题中，方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式代入(1)式得，当时， , (8) 考虑到(4)式有 . (9) 【评分标准】本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式1分，(4) 式3分， (5) 式1分，(6) 式1分，(7) 式1分， (9) 式2分. 【二】（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为（为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为（）处. 1. 若碰前滑块A的速度为，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量； 2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度应满足的条件. 【参考解答】 1. 由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A、C、D的速度分别为、、，显然有 . (1) 以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒 . (2) 由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故 . (3) 由 (1)、(2)、(3) 式解得 (4) 【代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点 . (