高等几何课件上课版.ppt

3、仿射变换的坐标表示 已知仿射坐标：　　　　仿射变换为:T 变换将 ： 　　　　　　　 且 平行四边形 变为平行四边形 ，且保持单比不变，故 在坐标系 中的坐标为 (x,y) 一方面 ：, 另一方面： 例1 已知三点 求仿射变换T使顺次变为 . 练习：1、求使直线 分别变为 的仿射变换。 2、已知仿射变换 求点 的像点，及直线 的像直线。 4、特殊的仿射变换 正交变换 位似变换 1.4 仿射性质 一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（量） 证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线 证明：设变换为：T: 二、重要结论： 1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。 设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程为 例2、求椭圆的面积 例2 在四边形ABCD的两边AD与BC上各取一点E与F，使AE︰BF=AD︰BC。求证：直线AF与BE的交点的轨迹是一条直线。 例2 设P, P; Q, Q为对合的两对对应元素, 点偶A, B满足 证明. 因为 所以, 根据对合的几何条件, 结论成立. 求证：A, B也是此对合的对应点偶. 5、Desargues对合定理 定理 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点. 如图, P, P; Q, Q; R, R属于同一对合. 注：由于对合的特性, 图中在同一组对边上带“ ”和不带“ ”的字母可以任意标注. 证明. 利用几何条件, 只要证 (PP, QR) = (PP, QR) (P, P, Q, R) (B) (X, P, D, C) (A) (P, P, R, Q) (P, P, Q, R) (P, P, R, Q) (PP, QR) = (PP, RQ) = (PP, QR) l CD l 5、Desargues对合定理 定理 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点. 如图, P, P; Q, Q; R, R属于同一对合. 注：由于对合的特性, 图中在同一组对边上带“ ”和不带“ ”的字母可以任意标注. 注：请写出本定理的对偶命题. 5、Desargues对合定理 例4 如图, 已知P, P; Q, Q为点列l(P)上对合的两对相异的对应点, R为l(P)上的另外一点. 求作R在此对合下的对应点R. 解：作图步骤思考过程(共需作6条直线, 设计次序确定R). 注1：已知点列l(P)上对合的两个不变点X, Y. 求作任一点R的对应点R. 即求作第四调和元素. 注2：若未指定R, 则当A在平面上变动时, 可得到l(P)上以X, Y为不变元素的任意多的对应点偶. 定理2.25是完全四点形调和性的推广, 且可以由完全四点形给对合综合定义. 例5 设A, B, C, D是点列l(P)上四点, 且(AB, DP)=(AB, PC). 求证：在l(P)上有相异二点P, P满足条件, 且(AB, PP)=－1. 证法一. 因为 所以, P为A→B; C→D所确定的对合中的不变点. 设此对合的另一个不变点为P, 则P也满足条件(AB, DP)=(AB, PC). 于是, 在l(P)上有相异的P, P为A→B; C→D所确定的对合中的不变点. 满足(AB, PP)=－1. 证法二. 设A, B, C, D的齐次坐标依次为 P的齐次坐标为a+λb. 因为 所以 所以, 在l(P)上有相异二点 满足条件, 而且 例5 设A, B, C, D是点列l(P)上四点, 且(AB, DP)=(AB, PC). 求证：在l(P)上有相异二点P, P满足条件, 且(AB, PP)=－1. § 3.4 二维射影变换 一、二维射影对应 1、透视对应 两点场间使得对应点连线共点的一一对应?中心射影 2、射影对应 Steiner定义 设π, π为两个点场. 若φ：π→π 满足 (i) φ为双射,