高等数学第六章第二节.ppt

思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 例10. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 例11. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (1994 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 三、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 则称 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 下垂 悬链线方程为 例10. 求连续曲线段 解: 的弧长. 例11. 计算摆线 一拱 的弧长 . 解: CH2极限与连续 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. * 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的计算过程, 显示完毕自动返回. * * (94 考研数二) * 典型P282 例1.24 * * (L.P198 例14) * 比重现在不用了 过去对比重的定义有两种: 1) 单位体积所受的重力 ; 2) 与水比的相对重量 * 第 六 章 定积分的应用 二、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 三、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 （穿出-穿入） 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 2012年期末考试题 分析曲线特点 补充1. 解: 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 , 也合于所求. ? 为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 故 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变 例5. 计算阿基米德螺线 解: 到 2? 所围图形面积 . 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 二、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 例7. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 例8. 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 例9. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . CH2极限与连续 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. * 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的计算过程, 显示完毕自动返回. * * (94 考研数二) * 典型P282 例1.24 * * (L.P198 例14) * 比重现在不用了 过去对比重的定义有两种: 1) 单位体积所受的重力 ; 2) 与水比的相对重量 *