(2.3) 第三节 反函数和复合的求导法则(少学时简约型)..ppt

例：设 这是个包含多次复合过程的复合函数。应先弄清函 数的复合过程及结构，并设置相应的中间变量，再按复 合函数的链式规则求导。 给定函数的复合结构为 于是相应的链式规则为 根据函数的复合结构求导 y = a u u = sinv v = w1/2 w = 1- ln x (4) (3) (2) (1) 原变量回代 本题导数采用了记号 而未用记号( )?，其意 义在于更清楚地表示链式求导过程中的每一步是对哪 个变量求导。若采用导数记号( )? ，则需加上下标以 指明求导的对象。 例如，对本例链式规则，若用记号 ( )?，则需写成 y ?x = y ?u﹒u ?v﹒v ?w﹒w ?x . 例：设 给定函数既含有四则运算又含有函数复合运 算，故应先弄清函数的结构，再按相应导数规则计算。 给定函数为两因子乘积，由乘积求导规则有 对第二项所含导数，由复合函数求导规则有 根据函数的复合结构求导 例: 设 f( x )= x a a + a x a + a a x ,( x 0 ,a 0 ), 求: f ?( x ). 本例求导的关键是弄清各项的复合结构，即区 别幂函数与指数函数。 第一项 x a a 为 ? = a a 时的幂函数； 第二项 a x a 为指数函数 a u 与幂函数 x a 的复合； 第三项 a a x 为指数函数 a u与指数函数 a x 的复合。 由幂函数、指数函数及复合函数求导公式有 幂函数求导 指数函数幂函数求导 指数函数指数函数求导 根据函数的复合结构求导 例: 已知 这是半抽象复合函数求导数值问题。 复合函数求导需知因变量对中间变量的导数及中间 变量对自变量导数，本题的求解首先应考察这两个条件 是否满足，因此求解的关键是弄清已知条件的意义。 函数 是半抽象函数，其间中间变量 是已知的，而外层函数 f 是抽象的。 由给定复合函数形式看出，条件 f ?( x )= arcsin x 2 实际是抽象函数 f 对中间变量的导数。由于函数的对应 法则与变量用什么字母无关，故这一条件实际可写成 f ?( u )= arcsin u 2. 由复合函数求导规则有 于是求得 根据函数的复合结构求导 例: 设 记号 f ?[ f( x )]的意义为导函数 f ?( u )在 u = f( x ) 处的值，求此导数值关键是求出函数 f( u )的表达式。 由条件想到可通过变量代换求之。 令　　 则 从而有 f ?( u )= 2 cos 2 u , f( x )= sin 2 x , f ?[ f( x )]= 2 cos [ 2 f( x )] = 2 cos( 2 sin 2 x ). 求 f ?[ f( x )] 理解各导数记号意义再依义求导 记号 f[ f ?( x )]的意义为函数 f( u )在 u = f ?( x )处 的值。由于已求得 f( u )和 f ?( x )，故只需代入即可。 因为 f ( u )= sin 2 u， f ?( x )= 2cos 2 x，故有 f[ f ?( x )]= f( u )?u = f ?( x )= sin 2 u ?u = 2cos 2 x = sin (4cos 2 x ). 记号{ f [ f ( x )]}? 的意义为复合函数 f[ f ( x )]对 自变量 x 的导数。由复合函数导数规则及前结果有 { f[ f( x )]}? = f ?[ f( x )] f ?( x ) = 2cos 2( sin 2 x )? 2cos 2 x = 4cos 2( sin 2 x )? cos 2 x . 求 f[ f ?( x )] 求{ f [ f ( x )]}? 导数计算规则不仅指出了求导的一般方法，也揭示 了初等函数导数计算的两大特点，即还原性和封闭性。 所谓还原性是指，导数运算法则实际是一种“还原 法则”，它可将初等函数的导数计算还原为构成它的 “原件”— 基本初等函数的导数来计算。 所谓封闭性则是指，任一初 等函数的导数仍是初等函数。因此 只要掌握了基本初等函数导数公 式及导数计算规则就可求得任 一初等函数