(教师版)数学中的常见思想和方法-分类讨论.docx

（教师）数学解题中的常见思想和方法之—分类讨论与特殊一般第一部分：分类讨论明确分类讨论的依据（注意审题，概念等）【例1】函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为____________.解析　f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1.当－1a0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)．∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝.∵－1a0，∴a＝－.【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是(　)A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上都不对解析　∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．【例3】已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为________．答案　4,5,32解析　根据题意可知，当an为奇数时，an＋1为偶数，∴由a6＝1为奇数可以判定a5为偶数，∴a5＝2a6＝2.又当an＋1为偶数时，若an＋1是被3除余1的数，则an为奇数或偶数，否则an仍为偶数．a4可能为奇数也可能为偶数，∴a4＝4，依次有a3＝1，a2＝2，a1＝4，即m＝4.或者a3＝8，a2＝16，a1＝32或a1＝5.【例4】向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则P点到A点的距离大于1米，同时∠DPC∈(0，)的概率为_____.解析　由题意，易知：(1)点P在以A点为圆心，1为半径的圆外；(2)若点P在以DC为直径的圆上，则∠DPC＝，若点P在以DC为直径的圆内，则∠DPC，故只有点P在以DC为直径的圆外时满足∠DPC为锐角．因此，点P落入图中的阴影部分，故所求概率1－.【例5】设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　)A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1，2] D．[0，2](2)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________．解析　(1)∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0；当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.选D.【例6】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是____________．答案　(0,4)解析　根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图(1)，此时a可以取最大值，可知AD＝，SD＝，则有2＋，即a28＋4＝(＋)2，即有a＋，又2a2，∴1a＋；②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图(2)，此时a0且a4，即0a4.综上分析可知a∈(0,4)．【例7】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.答案4或.解析　分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．【例8】抛物线y2＝4px (p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为(　)A．2 B．3 C．4 D．6答案　C解析　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p时，与点P在抛物线上矛盾．所以符合要求的P点一共有4个．【例9】设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且＞.求的值．解　若∠PF2F1＝90°，则2＝|PF2|2＋2，又∵＋＝6，＝2，解得＝，＝，∴＝.若∠F1PF2＝90°，则2＝2＋2，∴2＋(6－)2＝20，又|PF1||PF2|，∴＝4，＝2，∴＝2.综上知，＝或2.【例10】已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为_________.答案: 或解析　当双曲线焦点在x轴上时，＝，∴＝＝e2－1＝，∴e2＝，∴e＝；当双曲线焦点在y轴上