002_弹性力学第二章(1讲).ppt

弹性力学徐芝纶《弹性力学简明教程（第版）》 第二章 平面问题的基本理论 平面应力问题与平面应变问题 平衡微分方程 平面问题中一点的应力状态 几何方程 刚体位移 物理方程 边界条件 圣维南原理及其应用 平面问题的求解、按位移求解 按应力求解平面问题、相容方程 常体力情况下的简化、应力函数 本章典型例题 空间问题的平面转化 平面应力问题与平面应变问题 弹力空间问题共有应力、应变、位移的15个未知函数 ，且均为 ； 简化为平面应力问题 平面应力问题 平面应力问题实例 简化为平面应变问题 平面应变问题 平面应变问题中的应力分量 平面应变问题实例 如： 平面应力问题 平面应变问题 平衡微分方程——静力平衡条件 School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology Chapter 2 of 9 空间问题 特殊形状 特殊外力或约束 平面问题 满足工程 精度 要求 弹力平面问题共有应力、应变、位移的8个未知函数 ，且均为 。 有两类问题可以简化为平面问题 平面应力问题 平面应变问题 由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为： ⑵由于板为等厚度，外力、约束沿 z 向不变，故应力　 仅 。 ⑴两板面上无力的作用， 故 a.应力中只有平面应力 存在； b.且为 。 且切应力互等 平面应力 问题 平面应力问题的条件是： ⑴等厚度的薄板； ⑵体力 、 作用于体内， ∥ 面，沿板厚不变； ⑶面力 、 作用于板边， ∥ 面，沿板厚不变； ⑷约束 、 作用于板边， ∥ 面，沿板厚不变。 物体在一个方向的几何尺寸远小于其它两个方向的几何尺寸（等厚度薄板） 外力作用平行于板面且不沿厚度变化 如： 弧形闸门闸墩 计算简图： 深梁 计算简图： F a.应变中只有平面应变 存在； b.且仅为 。 ⑴ 截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束∥xy面，柱体非常长， 故任何 z 面（截面）均为对称面。 ⑵ 由于截面形状、体力、面力及约束沿 向均不变，故应力、应变、位移均为 。 平面应变 问题 沿某一方向很长，截面尺寸固定的柱体（等截面长柱体） 外力作用平行于截面，外力沿长轴无变化 平面应变问题的条件是： ⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力 、 作用于体内，∥ 面， 沿长度方向不变； ⑶面力 、 作用于柱面，∥ 面， 沿长度方向不变； ⑷约束 、 作用于柱面，∥ 面，沿长度方向不变 对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。 平面应变问题的定义 对于无限长柱体， 所有的应变与位移都发生xoy面内，就称为平面应变问题 挡土墙 o y x o x 隧道 y 简化为等长度很长的截面柱体, 载荷垂直于长度方向，且沿长度方向不变—作为无限长柱体看待。 1. 应力分量 （3个） 独立的（3个） 2. 应变分量 独立的（3个） （3个） 3. 位移分量 独立的（2个） （2个） 小结：平面问题基本未知量 根据物体内任一点的微分体的平衡条件建立的应力分量与体力分量的关系式。 平衡微分方程——单元体 平衡微分方程 (1)由于应力分量是点的位置坐标的函数，因此，在单元体两个对应平面上,应力相差一个微量。 (2)由于单元体是微小的，故，它的各面上所受应力可认为是均匀分布的，体力也是均匀分布的。 （平面问题的平衡微分方程） 尺寸大小：x方向，dx y方向，dy z方向，1 均匀性假定—应力、体力均匀分布，作用点在中心 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 力的平衡方程： 合力 = 应力×面积， 体力集度×体积； 以正向物理量来表示。 力的平衡方程 平面问题中的 平衡微分方程 两个方程包含三个未知量，属超静定问题， 要想求应力分量，还须找出几何方程。 (2-2) 略去高阶微量 （dx→0，dy→0） 平衡微分方程证明切应力互等定理 对平衡微分方程的说明： ⑴ 代表A中所有点的平衡条件， （ ， ）∈A； ⑵ 适用的条件─连续性、小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。 平面应变问题在z方向上有正应力，但它们不随z 的变化而变化，所以能保持自平衡