1-6_行列式按行(列)展开.ppt

一、余子式与代数余子式 二、行列式按行（列）展开法则 说明： 计算行列式时，直接利用拉普拉斯定理展开行列式，通常并不能减少计算量，除非某一行（列）含有较多的零元，因此计算行列式时，应先运用行列式性质，将某一行（列）尽可能多得化为零，然后使用行列式的展开。 三、内容小结 第 六节 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式 二、 行列式按行(列)展开法则 三、内容小结 决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念. 一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式 的计算要简便, 于是,自然地考虑用低阶行列式来 表示高阶行列式的问题. 本节我们要解决的问题 是, 如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高 阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算. 为了解 例如 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 证 当 位于第一行第一列时, 即有 又 从而 在证一般情形, 此时 得 得 中的余子式 故得 于是有 定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 例1. 计算三阶行列式 解： D= 还可看出 + 0 = 84 ?12 =72 =D, +36 = ?24 +60 =72 =D, +84 = 12 ?24 =72 =D . 以及 例2 计算行列式 解 按第一行展开，得 注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得 注意，当行列式某一行有多个0元素时，展开结果简单. 例3： 解 例4 例5 计算行列式 解 证 用数学归纳法 例6 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 同理 相同 关于代数余子式的重要性质