1-有限差分法的基本知识.ppt

§8.1.3 差分方程 §8.1.4 截断误差 §8.1.7 稳定性 上例中，令 表示差分方程的精确解．利用Taylor级数将 上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得 上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。 §8.1.5 相容性 上式中的 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误 差。显然 与 、 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 、 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义! §8.1.6 收敛性 一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。 有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。 有限差分法求解偏微分方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。 差分法概述 模型方程 为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程： 对流方程： 对流－扩散方程： 热传导方程： Poisson方程： Laplace方程： 模型方程 模型方程 1 区域的剖分(区域的离散化） x t 0 离散网格点 高等数学中，我们学习过Taylor公式： 2 微分方程离散(差分方程） 高等数学中，我们学习过Green公式： 2 积分插值法 o H x t E F G L1 L2 L3 L4 o x t j-1 j j+1 n-1 n n+1 E F G H o x t j-1 j j+1 n n+1 E F G H ), 1 , 1 ( ), 1 , 1 ( ), 1 , ( ), 1 , ( , , , - + + + + - j n j n j n j n H G F E 依次为 ，在网格中，点 现在换一种方式，如图 差分方程的建立过程 以对流方程说明差分方程的建立过程。 1.划分网格 选定步长 和 ，然后在坐标平面用平行于坐标轴的两族直线划分网格： 2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 点为 差分方程的建立过程 时间导数用一阶向前差商近似代替： 空间导数用一阶中心差商近似代替： 则对流方程在 点对应的差分方程为 差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为： 观察上述差分格式可看出：若知道第 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 层的 ，故称这类格式 为显示格式。 显式有限差分模板： 时间推进： 例 考虑长度为1的均匀直杆，其表面是绝热的，而且杆截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看