1.2.1直角三角形的性质和判定.ppt

结论 如果三角形的三条边长a，b，c 满足关系： ，那么这个三角形是直角三角形. 由此得到直角三角形的判定定理： 上述定理被称为勾股定理的逆定理. 1.2直角三角形的性质和判定 如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 说一说 图1-1 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，可得∠A +∠B=90°. 结论 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的性质： 议一议 议一议 议一议 议一议 议一议 议一议 有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图1-2，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 图1-2 结论 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形判定定理1： 结论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 由此得到： 举 例 例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 线，且 . 求证：△ABC是直角三角形. 图1-5 证明： 因为 ， 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B . 图1-5 根据三角形内角和性质，有 ∠A+∠B+∠ACB =180°， 即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°， 2(∠A+∠B)=180°. 所以 ∠A+∠B =90°. 根据直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD垂直于 AB，垂足为点D， ，求∠A的度数. 又在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 解：∵ 在Rt△BDC中，∠BDC= 90°， ， ∴ ∠BCD=30°. ∴ ∠A= 90°- 60°= 30°. ∴ ∠B= 60°. 中考 试题 例 如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）. A.150° B.130° C.120° D.100° 因为BE，CD是ABC的高， 所以∠BDP=90°，∠BEA=90°. 又∠A=50° ， 所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 90° + 40°= 130°. 故应选择B. 解 B 直角三角形的性质和判定勾股定理逆定理 结论 直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. a2+ b2 = c2 直角三角形的性质定理： 其实我国早在三千多年前就已经知道直角三 角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角 边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为 弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长. 勾 股 弦 故AD的长为12cm. 在Rt△ADB中，由勾股定理得 AD2+BD2 =AB2 ， 如图1-15，在等腰三角形ABC 中，已知AB = AC = 13cm，BC = 10cm，AD⊥BC 于点D. 你能算出 BC边上的高AD的长吗？ 例1 图1-15 举 例 解 在△ABC中， ∵ AB = AC = 13 ，BC = 10 ，AD⊥BC， ∴ BD = = 5. ∴ 在Rt△ABC中，∠C= 90°. （1） 已知a = 25，b = 15，求c； （2） 已知a = 5，c = 9，求b； （3） 已知b = 5，c=15，求a. 练习 答：（1）c= ；（2） ；（3） 动脑筋 如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC 靠在 墙上，使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5m，准备在 墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够， 于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动