1.3 行列式依行(列)展开.ppt

* 1.3 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式，容易验证： 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式 来计算？ 定义1.6 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 的 余子式。 记为 称 为元素 的代数余子式。 例如： 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。 引理1.1 假定行列式D的第一行除 外都是 0 ，则 证明 由行列式定义，D 中仅含下面形式的项 其中 恰是 的一般项。 所以， 引理1.2设 D 的第 i 行除了 外都是 0 ，则 把D转化为引理1的情形 证明把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······， 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列， 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤。 由性质1.4，行列式互换两行（列）行列式变号， 得， 行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 定理1.2 例如，行列式 按第一行展开，得 证毕。 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即 定理1.3 证明： 由定理1.2，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 在 中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素 则， 第i行 右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。 综上，得公式 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 例1.13 计算n阶行列式 解 将D按第一行展开得 例1.14 设 （1）计算D的值； （2）计算 （3）计算 解 （1）将行列式D的第2,3,4行分别乘以（-1）都加到第1行，则有 （2）注意到行列式一行（列）元素的代数余子式与该行（列）元素无关，因此