指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质..docVIP

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果,那么叫做的次方根 当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数 零的次方根是零 当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数 负数没有偶次方根 （2）．两个重要公式 ① ； ②（注意必须使有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:; ②正数的负分数指数幂: ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a0,b0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=ax a1 0a1 图象 定义域 R 值域 （0，+） 性质 （1）过定点（0，1） （2）当x0时，y1; x0时,0y1 (2) 当x0时，0y1; x0时, y1 (3)在（-，+）上是增函数 （3）在（-，+）上是减函数 注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 常用对数 底数为10 自然对数 底数为e 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）：①，②，③，④。 （2）对数的重要公式： ①换底公式：； ②。 （3）对数的运算法则： 如果，那么 ①； ②； ③； ④。 3、对数函数的图象与性质 图象 性质 （1）定义域：（0,+） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当时，； 当时， （4）当时，； 当时， （5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数 注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ∴0cd1ab. 4、反函数 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象 注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1方法：可画出x=x0； 当x01时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，， y=x-1； 当0x01时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1， ，y=x， y=x2，y=x3 。 3、幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 定义域 R R R [0，） 值域 R [0，） R [0，） 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，）时，增； x∈时，减 增 增 x∈(0,+)时，减； x∈(-,0)时，减 定点 （1，1） 三：例题诠释，举一反三 知识点1：指数幂的化简与求值 例1.(2007育才A) （1）计算：； （2）化简： 变式：（2007执信A）） （2） (3) 知识点2：指数函数的图象及应用 例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ） A.1个  B.2个 C.3个 D.4个 变式：（2010华附A）若直线与函数且的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质 例3.（2010省实B）已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判断函数的单调性; （Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数. （1）求a的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 知识点4：对数式的化简与求