排队论在学校食堂窗口服务中的应用..docVIP

题 目：排队论在学校食堂窗口服务中的应用 授课老师： 宋月 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 闵滔 学 号： 摘 要 通过应用排队论，为食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，为节约学生排队就餐时间，提高食堂服务质量、效率，以及平衡学生排队时间与 食堂收益之间的关系，优化食堂资源配置提供一种较有效的管理决策手段。 关键词 排队论，M/M/s模型，灵敏度，等待损失 ABSTRACT: Through the application of queuing theory, build corresponding quantitative math. model of cafeteria window service in order to save dining time, improve service quality、efficiency and balance the relationship between students’ queuing time and the canteen revenues. This provides a more effective management method of optimizing the allocation of resources. Key words: Queuing theory, M/M/s model,Sensitivity,Waiting loss 1 引 言 在学校里，我们常常可以看到这样的情景：下课后，许多同学争先恐后 跑向食堂去买饭，小小的卖饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂也立即变得拥挤不堪。饥肠咕噜的同学们见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。西北民族大学，这个拥有着2万多人的学校，由于近年来学校学生人数的增加，这种现象变得尤为严重。增加窗口数量，减少排队等待时间，是我们学生十分关心的问题。然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。 排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本论文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。 2 基本原理 2．1 多服务台排队系统的数学模型--模型 排队论是研究排队系统（又称为随机服务系统）的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。排队系统的符号一般形式为：X/Y/Z/A/B/C。 其中：X表示顾客相继到达时问间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C表示服务规则。 排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。 当系统运行一定时间达到平稳状态后，对任一个状态 n来说，单位时内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。【2】 据此．可得任一状态下的平衡方程如下： 0： 1： 2： …… n: 由上述平衡方程，可求得： 平衡状态的分布为： (1) 其中： (2) 由概率分布的要求： ，有： , （3） 注意：（3）式只有当级数 收敛时才有意义， 即当时，才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。 2.2 M/M/s等待制多服务台模型。 设顾客单个到达，相继到达的时间间隔服从参数为 λ的指数分布，系统中共有 S个服务员，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ的指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则可以马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等到有空间服务台时再接收服务。【1】 下面讨论这个排队系统的平稳分布。记： () 为系统达到平稳状态后队长 N的概率分布， 注意到对个数为 S的多服务台系统， 有： n-0,1,2... 和 , 记， 则当时，由（1）式、（2）式、（3）式， 有 (4) , 其中： (5) 公式（4）和公式（5）给出了在平衡条件下系统中顾客数为的概率， 当 时，即系统中顾客数大于或等于服务台