数值分析(清华大学)..doc

第一章 3.已知，求以下近似值的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？ （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1） 有2位有效数字 （2） 有4位有效数字 （3） 有2位有效数字 （4） 有4位有效数字 4.正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1? [解]由可知，若要求，则，即边长应满足。 5(1) ①1-cos2°=1-0.9994=0.0006 只有一位有效数字 ②1-cos2°=2sin21°=2×0.01752≈0.6125× =0.3327 ③ (2) 6.求解方程，使其根至少有四位有效数字，计算中要求用。 解：利用求根公式求得两个根为， 由与（五位有效数字）可知 （五位有效数字） ，只有两位有效数字，不符合题意。 由于两个相近数相减误差很大，所以利用韦达定理可知 设，，用四舍五入的六位数字运算分别计算和的近似值，并分析哪个结果计算比较准确，原因何在？ 解：用四舍五入法保存6位有效数字可得 ； 而 因此比较准确，原因是相近数相减有效数字会有所损失，故更加准确。 下列公式要怎样变换才能使数值计算时能避免有效数字的损失？ (1) (2) (3) (4) 解：（1） 因为，当N充分大时为两个相近数相减，设，，则，，从而 ， 因此。 (2)当x充分大时为两个相近数相减，利用分子有理化得 (3)当x充分大时为两个相近数相减，利用对数的性质得 (4)当时为两个相近数相减，利用三角公式性质得 10、已知,x.试求中函数的范围和. 求下列向量的范数和. 解：（1） （2）， 13.求下列矩阵A的范围,,以及. （1） （2） 解：（1）=6 =5.46 =7 ==5.3723 （2）=4 =3.4142 =4 ==3.4142 确定a的取值范围使，为对称正定矩阵 解：由题可知A矩阵为对称矩阵，而A成为对称正定矩阵的充要条件是A的顺序主子式 故 故联立可以得到 21、 分别求出所有的a、b值，使得： A奇异； A严格对角占优； A对称正定； 解：（1）因为Ａ奇异，所以矩阵Ａ的行列式的值等于零。求得ａ、ｂ值应满足 ３ａ＝２ｂ。 （2）根据严格对角占优矩阵的定义可列出不等式 解得 (3)因为矩阵Ａ对称，所以ｂ＝１。 因为A对称正定，所以A的所有顺序主子式值全部大于零。 一阶顺序主子式大于零得：a＞0 二阶顺序主子式大于零得：2a＞1 三阶顺序主子式大于零得：3a＞2 解得a＞2/3。 所以满足A对称正定的条件是b=1，a＞2/3。