数学建模截断切割..docVIP

数学建模 截断切割问题 学号：1443205000041 姓名： 杨德升 学号：1443205000108 姓名： 李春红 学号：1443205000088 姓名： 杨建明 问题描述： 某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。? 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。? 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下： ?1、需考虑的不同切割方式的总数。? 2、给出上述问题的数学模型和求解方法。? 3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。? 4、对于e=0?的情形有无简明的优化准则。? 5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、 14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：? a r = 1 e = 0; b r = 1.5 e = 0; c r = 8 e = 0; d r = 1.5 2= e=15;????? 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。?? 解： （1）对于计算不同的切割方式总数，经过分析，能够用排列组合的知识来解决这个问题。我们对分别位于前、后、左、右、上、下的切割面进行编号，其相应的编号分别为1M，2M，M3，M4，M5，M6，然而每一种切割方式都是对这6个切割面的一个排列方式，所以总共就6！=720种排列方式。?但是相继切割一对平行面时，交换切割次序，不影响切割费用，把费用相同的一项归到一类，最终的切割总数为： 720-3x5!+3x4!-3!=426种 (3)(4)(5) 符号说明： a0,b0,c0分别表示待加工长方体的长、宽、高。? a,b,c分别表示成品长方体的长、宽、高。 1M、2M、3M、4M、5M、6M表示左、右、前、后、上、下， 1u,2u,3u,4u,5u,6u分别表示待加工长方体与成品长方体。? 有向图顶点是vi，坐标为（xi,y i,z i），xi,y i,z i分别代表侧面（左右面）、正(前后面）、水平面（上下面）的切割次数。其中xi,y i,z i都在{0.1.2}中取值。a i,bi,c i分别表示在iv时，长方体左右、前后、上下面的距离。? 有向弧（vi,v j）代表一个从vi至v j的切割步骤， 模型建立： 考虑不同切割方式的总数?，设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为a0、b0、c0。六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为1M、2M、3M、4M、5M、6M，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为1u、2u、3u、4u、6u、5u。这样， 一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有6！=720?种切割方式。当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工。?由此准则,只需考虑6！/(2!x2!x2!)=90种切割方式。即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑。不失一般性，设1u 2u?、3u 4u?、5u 6u，故只考虑1M在2M前、3M在4M前、6M在5M前的切割方式。? ? Ⅱ、根据不同情况建立数学模型? 1、e=0的情况? 为简单起见,先考虑e=0的情况。构造如图所示的一个有向赋权网络图G(V,E)。为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z。 ?? 图G(V,E)的含义为：? (1)、空间网络图中每个结点Vi（xi,y i,z i）表示被切割石材所处的一个状态。顶点坐标ix，y i, z i分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数。顶点1V(0,0,0)表示石材的最初待加工状态，顶点27V(2,2,2)表示石材加工完成后的状态。? (2)、G的弧（Vi , V j）表示石材被切割的一个过程，若长方体能