数学模型-耐用品销售..docVIP

理论课作业名称 学号 姓名 邮箱 耐用品数学模型 一、课程设计内容： 建立耐用消费品（本文使用的是彩色电视机的数据）数学模型，并预测下一时期此类消费品的销售量。 二、使用到的数据： 网上查得某品牌彩色电视机在1981年到1993年的销售量数据如下： 年份 t y 年份 t y 1981 0 43.65 1988 7 1238.75 1982 1 109.86 1989 8 1560.00 1983 2 187.21 1990 9 1824.29 1984 3 312.67 1991 10 2199.00 1985 4 496.58 1992 11 2438.89 1986 5 707.65 1993 12 2737.71 1987 6 960.25 三、模型假设： 1、产品的销售只受市场的影响。 2、市场发展在一段时间内是平稳的。 3、市场需求量是平稳的。 4、销售量和需求量是按时间连续变化的。 四、建模型, 设变量 （1）模型分析：初期彩色电视机销售量增长率会不断提高，由于彩色电视机在本地区的越来越普及，彩色电视机的销售量增长率会变小，最后销售量会趋于一个相对固定的值，增长率趋于0。因此，彩色电视机的销售量满足Logistic模型。 （2）变量假设： 彩色电视机的销售量为y(t) 彩色电视机的固有增长率：r（即彩色电视机数量很少时的增长率） 彩色电视机的增长率为：r(t) 该地区彩色电视机的最大数量为：ym ， 其中r(ym)=0 则有：r(t)=r(1-y/ym) dy/dt=ry(1-y/ym) y(0)=y0 （3）因此建立模型： dy/dt=ry(1-y/ym) y(0)=y0 五、参数估计 （1）将模型线性化： 此微分方程可化成如下形式：（dy/dt）/y=r-（r/ym）y 设z=(dy/dt）/y a=-（r/ym） b=r 这样，可得到一个线性关系式：z=ay+b （2）数值微分法计算z的值 首先计算左端z,使用数值微分的方法（采用插值多项式）： 代码如下： t=0:1:12; y=[43.65,109.86,187.21,312.67,496.58,707.65,960.25,1238.75,1560.00,1824.29,2199.00,2438.89,2737.71]; p=polyfit(t,y,5) %用5次多项式p拟合f(x) dp=polyder(p) %对拟合多项式p求导数dp dpt=polyval(dp,t) %求dp在假设点的函数值 z=dpt./y z =1.1489 0.6402 0.5658 0.4778 0.3916 0.3336 0.2816 0.2380 0.1975 0.1700 0.1373 0.1173 0.0973 我们可以得到下表： t y z t y z 0 43.65 1.1489 7 1238.75 0.2380 1 109.86 0.6402 8 1560.00 0.1975 2 187.21 0.5658 9 1824.29 0.1700 3 312.67 0.4778 10 2299.00 0.1373 4 496.58 0.3916 11 2538.89 0.1173 5 707.65 0.3336 12 2837.71 0.0973 6 960.25 0.2816 (3)最小二乘法拟合，求线性方程的系数： 代码如下： y=[43.65,109.86,187.21,312.67,496.58,707.65,960.25,1238.75,1560.00,1824.29,2299.00,2538.89,2837.71]; z=[1.1489,0.6402,0.5658,0.4778,0.3916,0.3336,0.2816,0.2380,0.1975,0.1700,0.1373,0.1173,0.0973]; result=polyfit(y,z,1) %最小二乘法回归求系数；z1=result(1)*y+result(2) plot(y,z,*,y,z1,-); xlabel(y); ylabel(z); legend(实际z值,拟合z值,1); 得到如下结果：a=-0.0002 b=0.6536 即a=-( r/ym)=-0.0002 b=r=0.6536 下面是线性拟合的图像： （4）求解销售模型： 由上面可以解得：r=0.6536 ym =3268 所以 dy/dt=0