数学学院_易海蓉_射影簇与态射..doc

引 言 Riemann的函数论方式，Brill和Noether的更趋于几何直观的方法，Kronecker,Dedekind和Weber的纯代数研究方法，随后以Castelnuovo,Enriques和Severi为代表的意大利学派Weil和ZariskiSerre和GrothendieckHartshorne的《Algebraic Geometry》是代数闭域，表示上仿射空间，表示多项式环。 标记中一组多项式集合的公共零点集为。设是生成的理想，则，我们把形如这样的集合称为的代数集，于是代数集就是中某个理想的公共零点集。 如果要进一步研究这个零点集的性质，首先自然要问，中什么样的理想的零点集是非空的，即什么样的理想才值得研究呢？Hilbert在19世纪末回答了这个问题，他提出了著名的“Hilbert零点定理”。 Hilbert零是代数闭域，是多项式环=中一个理想，若在中的每一点都取值为零，则必存在整数使得。 零点定理还有一个所谓的弱形式可表述为：对应于多项式环中真理想的簇是非空的，即构成一个理想（不是整个环）的多项式一定有某些公共零点。与代数基本定理相比较，我们会发现二者相似，后者说的是一个未知量的多项式的零点集合是非空的，因此零点定理有时也被称为代数几何基本定理。 反过来，如果我们有一些点集，那么它们可以用什么样的多项式去刻画？于是我们有这样的标记：对的任意子集，定义在中的理想。 有了上面的这些准备之后，为了更好的研究簇的几何性质，我们需要对仿射空间赋予一个拓扑。不难证明任意个代数集的并仍是代数集，两个代数集的交仍是代数集。于是规定开集为代数集的补集，就可得到的一个拓扑。我们把它称为拓扑。 拓扑空间中下面这些概念对于几何刻画是必需的。 定义1.1.1 拓扑空间的非空子集称为不可约的，如果不能表示为两个真闭子集的并。规定不是不可约的。 命题1.1.2 不可约空间的任何非空开子集是不可约且稠密的；不可约子集的闭包仍是不可约的。 命题1.1.3 在一个Noether拓上，任何一个非空闭子集可以唯一的写成有限个不可约闭子集的并，，要求。 证明 （参考文献[1]）。 定义1.1.2 定义拓扑空间的维数为中不可约闭子集列的长度的上确界，记为。 命题1.1.4 拓扑空间有一个开覆盖，则。 下面，我们就可以进入仿射簇的严格定义了。 定义1.1.3 仿射簇是指的不可约闭子集。仿射簇的开子集称为拟仿射簇。 我们上面说到一个理想的零点集和一个点集的理想，这正好显示出一个几何对象和一个代数对象之间的转化，其实它们之间还有更好的一些结果，用符号和拓扑语言描述出来即为： 命题1.1.5 (a)若(中)，则； (b)若(中)，则； (c)、，有； (d)任一理想,(的根理想)； (e)任一子集,。 证明 （参考文献[1]）。 推论1.1.6 {中的代数集}与{中根理想}之间通过，的方式，存在一反包含的对应；且一个代数集不可约当且仅当它的理想是素理想。 证明 （参考文献[1]）。 进一步考虑一个代数簇内部点集的信息时，按照推论（1.1.4）对应的考虑对象是中包含的那些理想，这就进入到坐标环的概念了。 定义1.1.4 是代数集，定义的仿射坐标环为。 对任意的代数集，是有限生成-代数；进一步若是仿射簇，则是整环。反过来，若环是整环、有限生成-代数，必为某个仿射簇的坐标环。 规定簇或拟簇的维数是指其作为拓扑的子拓扑空间的维数。由推论（1.1.6）我们可以马上得到如下命题: 命题1.1.6 是代数集，则。特别的，。 这个命题使得我们能够将交换代数中关于环维数理论部分应用于仿射簇的几何性质研究中。 定理1.1.7 令是一个域，是整环、有限生成-代数。则： (a)=对的超越次数，表示的分式域； (b)对中任意素理想，有 +=， 于是对的任意两个素理想，有+=。 证明（参考文献[3]、[4]）。 命题1.1.8 若是拟仿射簇，则。 证明 (参考文献[1])。 例1.1.1 令是平面曲线，做一个环同态，，则，从而。令是平面曲线，同理可证得，它是关于的局部化且。又平面曲线也可写做，然后通过仿射变换可变成曲线。因此，若是上的任一二次不可约多项式，令，则或者。 例1.1.2 令，它的参数形式为，不难看出，且由于是素理想，。做一个映射，将，，。，且是满射，故，因此。我们把称为三次挠线。 1.2 射影簇的基本概念及性质 下面我们进入到射影空间的领域，它也叫作投影空间。关于它的想象，比如，我们可以认为是在一维仿射直线上加入一个无穷远点，是在二维仿射平面上加入一条无穷远线，是在维空间中加入一个无穷远超曲面。简而言之，这种新的布局比我们通常使用的欧几里得空间更巧妙，有人说它是“引入到几何中用来简化事物的一种艺术表达”（参考文献[9]）。 显然，仿射坐标不能处理这个无穷远超曲面的问题，有一种