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第三部分 数学建模与应用 第一节 建立数学模型 随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中。对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的赫斯基问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。现在来充分认识数学模型。 1.1 从现实对象到数学模型 原型与模型 原型（Prototype）指人们在现实世界里所关心、研究或从事生产、管理的实际对象。比如我们通常说的机械系统,电力系统,生态系统,生命系统、社会经济系统，又如化学反应系统,污染扩散过程,生产销售过程,计划决策过程等,它是数学建模研究的对象。 模型指人们为了某个特定的目的而将原型的某些信息精简压缩,加以提炼而构造的原型的替代物。需要强调的是,模型不是原型的原封不动的复制, 原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次，它实际上只是原型某些方面和某些层次的近似表示。 同一个原型,为了不同的目的,可以有许多不同的模型。每个模型的特征是由构造模型的目的决定的。模型可以分成形象模型和抽象模型。形象模型包括直观模型,物理模型等;抽象模型包括数学模型等。 物理模型 通常指科技工作者为了某些目的，根据相似原理构造的模型,它不仅可以显示原型的外形或某些特征,而且可以用以进行摸拟实验,间接地研究原型的某些规律。比如风洞中的飞机模型用来实验飞机在气流中的空气动力学特性等。 数学模型 通常指运用数学的语言和工具,对部分现实世界的信息(现象﹑数据﹑图表等)加以翻译、归纳所形成的公式、图表等。数学模型经过演绎、求解以及推断,给出数学上的分析、预报,再经过翻译和解释, 回到现实世界中。最后,这些推论或结果必须经受现实的检验,完成实践—理论—实践的循环。如果检验的结果是正确的或基本正确的,即可用于指导实践,否则,还要重新翻译、归纳,修正数学模型。建立数学模型通常简称为数学建模或建模。 一般地说，数学模型可以描述位，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 1.2 建模方法与建模步骤 建立数学模型主要采用机理分析和统计分析两种方法。 机理分析是指人们根据客观事物的特征,分析其内部机理,弄清其因果关系,并在适当的简化假设下,利用合理的数学工具得到描述事物特征的数学模型。 测试分析方法是指人们一时得不到事物的机理特征,通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。 建立数学模型需要哪些步骤没有固定的模式,下面是按照一般情况,提出的一个建立模型的大体过程。 模型准备 模型假设 模型建立 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用 下面就这几个过程作一些简单的介绍： 模型准备，首先要了解问题的实际背景,明确建模的目的,搜集建模必需的各种信息,比如实际现象,统计数据等,弄清楚实际对象的基本特征(事实上,由于实际问题的复杂性,以及认识的局限性,我们无法获得实际问题的全部信息),由此初步确定用哪一类模型。模型准备过程是非常必要的,事实上,这一步骤往往也是建模过程中最困难、最费时费力的,此步骤不仅需要查阅大量的资料,需要请教专家,而且还要求自己应具有相当的实际经验,这一步做得好,便会对问题有更透彻的了解,也会为以后几步带来极大的方便。 模型假设，一般来说,我们无法将实际对象的所有影响因素都考虑到模型中,这就需要对问题进行必要的简化。简化的目的应是尽量少地考虑影响因素,尽量多地抓住问题的基本实质,通过假设,把各种影响因素的关系较精确地描述出来。假设包含两方面的内容: (1 )影响因素(变量)的分类 列出可能的影响因素,将其独立的变量与相互影响的变量按类分开,对于相互影响的变量应解释清楚其相互关系。有选择地忽略一些影响因素,这种忽略主要基于两个方面的考虑: （i）该变量与其它变量相比,对实际问题行为特征的影响较小； （ii）对于那些各种条件下,对实际问题行为特征的影响虽然比较大,但是影响程度的变化基本上是不变的。 (2) 确定所选变量的关系 有些变量间的关系是明确的,我们勿需对此作假设或简化,有些变量间的关系是模糊的,对此类变量,为明确其关系,我们可以对它再作进一步的假设或简化,甚至为了研究这些变量的关系,我们还可以建立子模型。 建立模型，根据所作的假设利用适当的数学工具,构成实际问题的数学描述,这里除了需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要广阔的应用数学方面的知识开拓思路,除用到微积分、常微分方程、线性代数、概率论与数理统计等基础知识外,还用到诸如运筹与规划、排队论、图论、对策论等方面的知识。建模应遵循