有关数论函数的一些问题..docVIP

有关数论函数的一些问题 题 目： 有关数论函数的一些问题 研 究 生： 任荣珍 任课教师： 杨 海 学科专业： 应用数学 学 号： 2014081034 学 院： 理学院 时 间： 2015年月日 有关数论函数的一些问题 数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”. 数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了, 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置. 数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数的背景知识, 先介绍一些所需要的符号及定义: 对任意的正整数, 是由满足如下条件的整数数组 所构成的集合: , ; 若素数, 则, ; 时, , . 定义为形如数的最大值, 其中 设为的标准分解式, 我们用表示的所有不同 素因子的个数. 数论函数的定义: 当自变量时, 因变量是取实数值或复数值的函数, 即, 我们就称他为算数函数或数论函数. 1983年, 对做了很多的研究, 得出了许多的结果, 同时也提出了不少想法和问题, 下面就列举几个问题, 以便对有更深的了解. 结论1对任意正整数, 总存在一个正整数, 使得 , . 结论2如果我们忽略掉整数中密度为零的一个集合, 那么 我们用表示素数, 如果再定义, 那么还有如下结 论: 结论3对任意正整数, 存在一个正整数, 使得 , 定理1 对任意正整数及充分大的, 有 数论作为数的分支在数学领域有着很重要作用, 而数论函数是数论的一个分支在数论中的作用也是不可忽视的, 许多数论或者组合数学中的许多问题也可以化为一些数论函数来研究, 因此数论函数是一类非常重要的函数, 是数论中的一个重要研究课题, 尤其是数论函数的一些性质在数论的研究中也是很有意思的, 如函数的均值问题, 我们知道很多重要的数论函数的取值往往很不规则, 然而它们的均值却有非常优美的渐近公式, 数论函数还有一些很好的性质是值得我们深入研究的, 如研究数论函数的逆函数、数论函数的方程及其方程的解、数论函数的敛散性等等这些性质都是值得深入研究和计算的, 下面就来介绍一些数论函数的性质: 在介绍数论函数之前我们先来介绍几种简单的特殊的数论函数: 函数定义如下: 如果, 记. 则 ; 注意: 有一个大于1的平方因子. 例题1: 有关的值的一个表 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 : 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 定理2 如果, 我们有 函数定义如下: 如果, 则欧拉函数被定义为不超过且与互素的正整数的个数. 记为: (这里表示对与互素的正整数求和) 像麦比乌斯函数一样下面来看有关欧拉函数的一个例子 例题2: 有关的值得一个表 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 : 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 像的情况一样对于除数和也有一个简单的公式 定理3 如果, 我们有 刘维尔函数的定义如下: : : , 其中 除数函数的定义如下: 对任意的, 除数函数定义如下: 曼格尔特函数的定义如下: 若： 则有和成立. 可乘函数的定义: 若为一数论函数, 并且具有下述两个性质: 有一正整数使得函数值 对于任意两个互质的正整数, 有 叫做可乘函数. 欧拉常数定义为: 上面介绍了几种特殊的数论函数, 说明了数论函数在数论中的应用是十分广泛地, 还有很多数论函数