第九章第7节方向导数与梯度预案.ppt

* 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 * 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 一、问题的提出 * 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． 二、方向导数的定义 （如图） * * 记为 * * * 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 * 故有方向导数 如果方向 l 的坐标为 * 解 * 解 由方向导数的计算公式知 * 故 * 推广可得三元函数方向导数的定义 * * 解 令 故 方向余弦为 * 故 * 三、梯度的概念 * * 结论 * 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 * 等高线的画法 播放 * 例如, * 梯度与等高线的关系： * 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 * * 解 由梯度计算公式得 故 * 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 四、小结 * * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法