化工数值计算-7全解.ppt

7.3????有约束多变量函数最优化的复合形法 ? 　　上节介绍的是无约束最优化问题,即其变量的选择是没有任何限制的。但是,在化工优化设计中变量参数往往只能在某个可行区域内选择,这就是有约束条件的最优化问题。通常,有约束 最优化问题可表示为: ? 满足约束条件 ? 为便于讨论可写成向量的形式 ? 式(7-22)~式(7-24)中n为独立变量的个数,ai和bi为常数,ci和di可以是常数也可以是变量xi的函数。 求解有约束最优化问题有许多方法。本节介绍直接法中的复合形法。复合形法(complex method)是由BOX于1965年提出的用于不等式约束条件下直接有哪些信誉好的足球投注网站的一种最优化方法,是单纯形法应用于约束问题的推广。 7.3.1　方法概述 所谓复合形是指由n维空间中k(k≥n+1)个点的集合所形成的几何图形,而这k个点叫做复合形的顶点。 复合形法的基本思想是在可行区域中取k(n+1≤k≤2n)个点构成复合形,判断复合形各顶点目标函数值并去掉最坏点(即最大点);将最坏点经过其余k-1个点的形心进行反射,用反射点代替最坏点构成新的复合形,此复合形比原复合形更接近最优点,如此反复可求得目标函数的最优值。 复合形法的最优化基本思路和步骤如下。 ① 初始复合形的生成　 给定复合形的一个顶点,其余k-1个顶点由计算机随机产生。 ? 式中,R为0~1间的随机数。由式(7-25)产生的复合形必定满足显式约束条件即式(7-23),但是不一定满足隐式约束条件即 式(7-24),因此必须检验产生的顶点是否满足隐式约束条件。若第i个顶点不满足隐式约束条件,则对第i个顶点外符合约束条件的前i-1个顶点求形心 ? 然后取第i个顶点与i-1个顶点的形心连线的中点作为新的第i个顶点: ? 新获得的顶点X(i)可能在可行区域外(即不满足约束条件),因此必须对新顶点进行显式与隐式约束条件的检验,直到k个顶点均满足约束条件式(7-23)和式(7-24)。这样形成的复合形各顶点都在可行区域内,就可由这个初始的复合形出发进行最优点的有哪些信誉好的足球投注网站。 ② 计算各顶点的函数值f(X(i))(i=1,2,…,k),并确定出其中函数 值最大点X(h)和最小点X(l)。 ③ 求反射点:先计算复合形中除X(h)以外的n个顶点的形心,其坐标为 ? 然后将X(h)通过形心X(k+1)进行反射,得反射点为 ? 式中,α为反射系数,BOX认为α=1~1.5较为适宜,一般可取1.3。 ④ 对点X(k+2)进行约束条件的检验,若不满足约束条件,则重复使用下式直至满足约束条件: ? 此外若f(X(k+2))f(X(h)),必须将反射点在形心X(k+1)附近进行压缩,即式(7-30)。然后用X(k+2)代替X(h)构成新的复合形,此复合形更接近最优点。 ⑤ 检验所得到的复合形是否满足收敛准则,收敛准则是复合形k个顶点与k个顶点的形心间距离的平方和小于某一给定小量ε,即 ? 式中 ? 如果满足式(7-31),则停止计算,并以现行的最好点或满足式(7-32)的?点作为极小点的近似;否则返回步骤②继续进行下 一次迭代,如此反复直至满足精度要求。 此外,需要注意的是,在使用式(7-27)和式(7-30)时,若新顶点和 形心本身不满足约束条件,则可能会形成死循环,故在程序设计时必须考虑遇到这种情况时应以复合形中相对最优点(即X(l))作为第一顶点,返回程序的开始重新生成初始复合形。 复合形法收敛速度较慢,特别对维数高或约束条件多时,计算量大,但无需求导,无需结合一维有哪些信誉好的足球投注网站方法,因而程序简单、使用方便,工程应用较多。 7.3.2　程序框图 图7-10是复合形法的通用计算程序框图,其中主要的变量如下: 图7-10　复合形法的通用计算程序框图 　????N　　独立自变量的个数,也是显式约束条件的个数 K　　复合形顶点的数目(N+1≤K≤2N) E0　　反射点或新顶点与形心是否重合判断精度 E　　收敛精度 X(0)　　复合形的初始顶点 X(h)　　复合形中函数值最大的顶点 X(l)　　复合形中函数值最小的顶点 X(k+2)　　反射点 7.3.3　计算实例 例7-9 如图7-11所示,某电厂主蒸汽管外侧温度T为723K,环境温度t为303K,现将蒸 汽管路依次包上热导率分别为0.07W/(m·K)与0.05W/(m·K)的两种不同保温材料,这两种材料的造价分别为2000元/m3和2500元/m3; ? 图7-11　管路保温层示意 保温材料的外侧与环境空气间对流传热系数α为11.60W/(m2·K),主蒸汽管路直径为?300mm×10mm;热价为6元/106kJ。求两保温层厚度分别为多少毫米时,同时外保温层的厚度不应大于内保温层的厚度,单位长度管路的