离散小波变换..docVIP

离散小波变换（Discrete Wavelet Transform）在数值分析和时频分析中很有用。第一个离散小波变换由匈牙利数学家发明，离散小波变换顾名思义就是离散的输入以及离散的输出，但是这里并没有一个简单而明确的公式来表示输入及输出的关系，只能以阶层式架构来表示。 定义 首先我们定义一些需要用到的信号及滤波器。 x[n]：离散的输入信号，长度为N。 ：low pass filter低通滤波器，可以将输入信号的高频部份滤掉而输出低频部份。 ：high pass filter高通滤波器，与低通滤波器相反，滤掉低频部份而输出高频部份。 Q：downsampling filter降采样滤波器，如果以x[n]作为输入，则输出y[n]=x[Qn]。此处举例Q=2。 举例说明: 清楚规定以上符号之后，便可以利用阶层架构来介绍如何将一个离散信号作离散小波变换： 架构中的第1层(1st stage) 架构中的第2层(2nd stage) 可继续延伸 架构中的第层( stage) 注意：若输入信号的长度是N，则第层中的及的长度为 此时的输入信号变成，而转换过程变得更复杂，说明如下： 首先对n方向作高通、低通以及降频的处理 接着对与延著m方向作高低通及降频动作 经过(1)(2)两个步骤才算完成2-D DWT的一个stage。 [编辑] 实际范例 以下根据上述2-D DWT的步骤，对一张影像作二维离散小波变换(2D Discrete Wavelet Transform) 原始影像 2D DWT的结果 [编辑] 复杂度(Complexity) 在讨论复杂度之前，先做一些定义，当x[n]*y[n]时，x[n]之长度为N，y[n]之长度为L： 其中， 为(N+L-1)点离散傅里叶反转换(inverse discrete Fourier transform) 为(N+L-1)点离散傅里叶转换(discrete Fourier transform) (1)一维离散小波变换之复杂度(没有分段卷积(sectioned convolution))： (2)当 N L 时，使用 “分段卷积(sectioned convolution)”的技巧： 将x[n]切成很多段，每段长度为，总共会有段，其中。 则 复杂度为： 在这里要注意的是，当NL时，一维离散小波变换之复杂度是呈线性的(随N)，。 (3)多层(Multiple stages )的情况下： 1.若不再分解时： 2.若也细时分： (4)二维离散小波变换之复杂度(没有分段卷积(sectioned convolution))： 上式中，第一部分需要M个一维离散小波变换并且每个一维离散小波变换的输入有N个点；第二部分需要N+L-1个一维离散小波变换并且每个一维离散小波变换的输入有M个点。 (5)二维离散小波变换之复杂度，使用 “分段卷积(sectioned convolution)”的技巧： 假设原始尺寸为，则每一小部分的尺寸为 所以若是使用分段卷积，则二维离散小波变换之复杂度是呈线性的(随MN)，。 (6)多层(Multiple stages )与二维的情况下： 首先x[m,n]的尺寸为， 1.若不细分，只细分时，总复杂度为： 2.若也细时分，总复杂度为： [编辑] 其他应用 压缩、去除噪声：使用低通滤波器，将小波变换的高频滤掉，即保留而将其他部分舍弃。 边缘侦测：使用高通滤波器，将小波的低频滤掉，即保留或而舍弃其他部分。 R语言小波分析wavelet