必威体育精装版整理-2012世纪金榜文数平面解析几何8.3[精品资料].ppt

【自主解答】(1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当 直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 解得b=-2± . 所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- . (2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 所以x2+y2的最大值是 x2+y2的最小值是 【规律方法】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解.一般地， (1)形如 型的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题； (2)形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题. 【互动探究】在本例条件下,求 的最大值和最小值. 【解析】 可视为点(x,y)与原点连线的斜率， 的最大值 和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值 和最小值.设过原点的直线方程为y=kx,由已知，相切时，有 解得k=± ,所以 【变式训练】已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上. (1)求x+y的最大值和最小值； (2)求 的最大值和最小值. 【解析】(1)设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t的纵截距，所以x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距. 由直线与圆相切得，圆心到直线的距离等于半径，即 解得t= -1或t=- -1, 所以x+y的最大值为 -1，最小值为- -1. (2) 即 其最值可 视为点(x,y)到定点(-1，2)的距离的最值，可转化为圆心 (2，-3)到定点(-1，2)的距离与半径的和或差，又因为圆心 到定点(-1，2)的距离为 所以 的 最大值为 最小值为 利用二元二次方程表示圆的条件求参数问题 【例】已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)的曲线是圆. (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程. 【审题指导】第(1)题抓住曲线是圆，构建关于t的不等式求解；第(2)题关键是使半径最大. 【规范解答】(1)方程可化为 (x-t-3)2+(y+1-4t2)2=-7t2+6t+1. ∵r2=-7t2+6t+1＞0，∴ ＜t＜1. (2) ∴当t= 时，rmax= 此时面积最大， 所对应的圆的方程是 【规律方法】含参数的方程若表示圆，需对参数的取值范围进行讨论. 如方程(x-a)2+(y-b)2=r2表示圆的充要条件是r2＞0.解决含参数的圆的面积的最值问题关键在于圆的半径，先用参数把半径表示出来，求出半径的最值从而可解决面积的最值. 【变式备选】由方程x2+y2+x+(m-1)y+ m2=0所确定的圆中，最大面积是多少？ 【解析】由题知 ∴当m=-1时， 与圆有关的轨迹问题 【例3】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程. 【审题指导】关键抓住弦的中点P与圆心C的连线和点P与点A的连线垂直这一关系，用直接法或定义法求解. 3 【自主解答】方法一：直接法 设P(x,y)，圆心C(１，１). ∵P点是过A的弦的中点， 又∵ ＝(2-x,3-y), =(1-x,1-y), ∴(2-x)·(1-x)+(3-y)(1-y)=0, ∴P点的轨迹方程为 ∴P点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆. 方法二：定义法： 由已知知，PA⊥PC,∴由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上，圆心C(1，1)，而AC中点为 所以半径为 所求动点P的轨迹方程为 【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，要注意圆的有关性质的应用，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)若由动点满足的等量关系能判定出轨迹的形状，用定义法定形状写出方程，否则用直接法.(2)若动点与另外动点有关，而另外动点又满足一定的约束条件，用相关点法(代入法). 提醒：注意求轨迹与求轨迹方程的不同. 【变式训练】1.一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2+8x+12=0都外 切，则动圆圆心的轨迹为( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)