袁浩伟正 (修复的)..docVIP

中原工学院 课程设计 课程名称： 矩阵的迹及其应用 课 程 号: DB0103109 专 业： 数学与应用数学 班 级： 物理133班 学 号： 201300144428 学生姓名： 李世龙 指导教师： 2016年1月 摘要 本次课程设计首先给出了矩阵迹的定义，然后根据矩阵迹的定义，讨论了矩阵迹的若干性质，矩阵的迹在解题中的应用，矩阵的迹与线性函数的关系，证明了方阵的F范数定义的Cauchy —Schwarz 不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。 关键词: 迹 矩阵 范数 特征值  目 录 引言 1 1矩阵迹的定义及其性质 2 1.1 矩阵的迹的定义 2 1.2 矩阵的迹的性质 2 2 矩阵的迹的应用 11 3总结 19 参考文献 20 引言 矩阵的迹在解决有关矩阵的问题中有着广泛的应用,在通常的高等代数或线性代数教科书中,对矩阵的迹鲜有提及.本文利用在课本中介绍的有关矩阵的迹的定义及几点易知的性质,由浅入深,层层递进,由表及里的初步对矩阵的迹一些不易直接得出结论的性质及问题进行了讨论研究,给出了矩阵迹的几个很有用的等式和不等式性质，并给出了简洁证明，最后给出了它们的具体应用的实例，以求将有关矩阵的迹的问题明朗化,将矩阵迹的一些性质运用到解题中去。 1矩阵的定义及其性质 1.1矩阵的定义 定义1：方阵的所有主对角线元素之和称为矩阵的迹,记为. 即 . 定义2： 设,记与向量范数相容的 的 一范数为: ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . 1.2 矩阵迹的性质由矩阵迹的定义,容易证明它有下列基本性质： 性质1 . 证明：设 则 又 所以 . 得证。 性质2 (为任意常数) 证明：设则 性质3 设都是阶方阵,则有 (均为常数）. 证明：设 ,则 又 所以 得证。 此性质由性质1和性质2也可证出。 性质4设为阶方阵,则有 . 证明：由矩阵取转置时，对角线元素保持不变， 所以得证 性质5 设和分别是矩阵,则 . 证明：令为矩阵,为矩阵,则 为阶方阵,其中, 为阶方阵,其中, 所以 , , 从而 .证毕. 性质6 证明：令性质4中 即可得证。 性质7 证明：令性质4中 即可得证 性质8 设阶方阵的特征根为（可能有重根）,则 ； ,其中为任意正整数. 证明： （i）设阶方阵,则的特征多项式为 , 将这个行列式展开,得到一个关于的多项式,它的最高次项是,出现在 主对角线上元素的乘积里,行列式的展开式其余的项至多含有个主对角线上的元素,因此 , （*） 这里没有写出的项的次数至多是. 另一方面,由于为A的全部特征值,故有 =. 将上式与（*）比较得 . （ii）因为为阶方阵的特征根,所以存在可逆矩阵,使得 , 易知仍是上三角矩阵,且. 因此得全部特征值为,且,所以构成的全部特征值,由已证明的（i）得 . 证毕. 又相似矩阵具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,结合性质3可得下面的推论. 性质9若,则;特别， 性质10 设是阶方阵,则有 证明： 因为 , 又是反对称矩阵,故有 , 得 . 证毕.作为性质9的应用我们再次考虑例4. 证明：易知 , 又由为实对称阵，故有 , 从而 , 由性质9可知 . 证毕.. 定理1 设为阶对称矩阵，则有 证明：由Cauchy-Schwarz公式可知 又 即得 定理2 设都是阶实对称矩阵，则有 证明： 都是阶实对称矩阵，又由性质2可得 又由性质4可得 同时有 即可得结论。 定理2 设阶矩阵的所有特征值都是实数，且，若恰有个特征值，则 证明：设的个特征值为。因为，由引理1 知 的特征值为不为零，而其余的特征值 考察以下平方和 其中，显然且 由于 于是，有 定理3 设都是阶实对称矩阵，则有 证明：由于都是阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3，可得 定理4 设都是阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有 证明：由cauchy-schwarz