7.平面向量的数量积.ppt

* * 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一般地，实数λ与向量a的积是一个向 量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ0时,λa 的方向与a方向相同； 当λ0时,λa 的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0 设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb 已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。 O B A θ 当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； O A B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. O A a b 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 注意：向量的数量积是一个数量。 已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ |a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 特别地 O A B θ a b B1 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10 O A B θ |b|cosθ a b B1 等于 的长度 与 的乘积。 二、平面向量的数量积的运算律： 数量积的运算律： 其中， 是任意三个向量， 注： O N M a+b b a c 证明运算律(3) 向量a、b、a + b在c上的投影的数量分别是OM、MN、 ON, 则 (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c . 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2. 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2. 例4、 的夹角为 解: 练习： √ × × × × × √ 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 4．若a · b=0，则a 、 b中至少有一个为0． 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． 7．对任意向量 a 有 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 解：设