7系统预测.ppt

四、马尔柯夫链 如果一个系统具有限个状态，状态转移的时间是离散（如月、季、年），且这种转移具有无后效性，则称此系统构成一个马尔柯夫链。 五、状态转移概率和转移概率矩阵 设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量xt= Ei 表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t时刻以前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（Ei→Ej）=P（ xt+1 = Eij∣xt = Ei ） 并称为一步转移概率。 0≤ Pij ≤1 ∑ Pij =1 所有Pij构成的矩阵为： 称为一步转移概率矩阵。 在多步转移中，k步转移概率记为： Pij（k）=P（Ei k Ej）=P（ xt+k = E j∣ xt = Ei ） （i，j=1，2，…，N） 所有Pij（k）构成的矩阵 称为k步转移概率矩阵。 P（k）与P的关系： 可证明： P（k）=Pk P（k）= P（k-1）P=Pk-1P 六、预测模型 设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），系统经k步转移后构成一个新的n×n的概率矩阵。 其中： 0≤Pij（k）≤1 （i,j=1，2，…，N） 每一行 ∑ Pij（k）=1 （i,j=1，2，…，N） 令 为k步转移后概率分布向量，当k=0时， 反映系统在初始时状态概率的分布情况，称为起始状态概率分布。 且： P为转移概率矩阵，可得递推关系： 这就是马尔柯夫链的预测模型。 马尔柯夫预测法的步骤： 1、确定系统的状态Ei和S（0）； 2、确定P； 3、进行预测：S（k）=S（0）Pk 例1：某地有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1000个客户，假定无新用户加入也无老用户退出，只有用户转移，转移表如下：试求其状态转移概率 从 转到 甲 乙 丙 合计 甲 400 50 50 500 乙 20 300 80 400 丙 10 10 80 100 合计 430 360 210 1000 解：状态转移概率为 例2：市场上有三种品牌的汽水，6月份市场占有率分别是30%、40%、30%。各品牌消费变化情况如下表：试求（1）8月份的市场占有率；（2）预测长期占有率 本月 下月 甲 乙 丙 甲 0.2 0.6 0.2 乙 0.1 0.5 0.4 丙 0.2 0.3 0.5 6月份各品牌汽水消费变化表 解：初始市场占有率为：S(0)=(0.3 0.4 0.3) 状态转移概率矩阵为 (1)7月份市场占有率为 8月份市场占有率为 (2)矩阵P显然是正规矩阵，顾客的流动经过一段时间后会达到稳定的平衡状态，设稳态矩阵为U,则U*P=U. 如果稳定状态下的概率分布为S(k) 即经过长时期流动后，甲、乙、丙三品牌的市场占有率分别是 15.6%、43.4%、41.0% 例3 、设备维修方面的应用 企业中的机器设备，粗略地划分，可以分为良好和损坏两种状态，在运转和使用过程中，良好的可能会转变为损坏，而损坏的也可能经过维修转变为良好。一般可用下图表示这种状态转移。状态转移概率矩阵可写为 S F P11 P22 P21 P12 S－良好状态 F－故障状态 机器状态转移 式中 P11为某时刻机器处于良好，到下一时刻仍转变为良好状态的概率； P12为某时刻机器处于良好，到下一时刻转变为故障状态的概率； P21为某时刻处于故障到下一时刻转为良好概率； P22为某时刻处于故障到下一时刻仍为故障状态的概率； 例 设某车间里的机器出故障的概率为0.2，机器能修复良好的概率为0.85，试求稳定状态下，机器处于良好状态和故障状态的概率各为多少？ 解: 由题意可知，机器不出故障的概率为 1–0.2= 0.8；机器修不好的概率为1–0.85=0.15。故得状态转移概率矩阵为 于是有 解此联立方程组得： 即在稳定状态下机器不出故障的概率为0.81，而出故障的概率为0.19。 预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况，设购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等），目前，买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家。 根据发放信息调查，使用对象的流动情况如下表： 1季度订货情况 合计 来 自 A B C A 160 120 120 400 B