(第13章图形的面积.docVIP

第6讲 图形的面积 赛点突破 在小学数学课里我们已经学过简单图形的面积计算，在这一讲里，我们将继续学习图形面积的计算方法.除了要熟记各种几何图形的面积公式外，应熟练下面的几条关于三角形面积的性质： 1．同底等高的两个三角形面积相等； 2．高相等的两个三角形面积之比等于底的比； 3．底相等的两个三角形面积之比等于高的比。 运用面积作为工具，来解决数学问题的方法叫做面积方法，我们可以运用面积方法来求点到直线的距离，求线段的比，证明一些几何问题。 范例解密 例1．(2001年第十五届江苏省初中数学竞赛初一年级第二试试题) 如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，AE，DE，BF，AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1，S2 ，S3，S4 ，S5，S6 ，S7，S8。试比较S3与S2+ S7+ S8的大小，并说明理由。 解 S3= S2+ S7+ S8，理由如下： 因S1+ S3+ S6= S3+ S4+ S5= SABCD= S1+S2+S6+S7+S8 故S2+ S7+ S8= S3 例2．如图, 平行四边形 ABCD的面积为64平方厘米(cm2)，E，F分别为AB，AD的中点，求△CEF的面积． 解 连接AC．因E为AB中点，故S△BCE= S△ABC=S△ABCD=16（平方厘米），同理可得 S△CDF=16(平方厘米)连接DE，DB，因F为AD中点，所以SAEF=S△AED=S△ABD=SABCD =8（平方厘米）从而S△CEF=SABCD-S△AEF-S△BCE-S△CDF=64-16-16-8=24(平方厘米) ．例3．如图，三角形ABC的面积为1,BD:DC=2:1, E是AC的中点，AD与BE相交于点P,那么四边形PDCE的面积是多少？ 解 连结CP，因S△ABP：S△DBP=AP：PD=S△ACP：S△DCP 故S△ABP：S△ACP = S△DBP：S△DCP=BD:DC 设S△DCP=x，因BD:DC=2:1，故S△DBP=2S△DCP=2x 于是S△CPB=2x+x=3x， 因E是AC的中点，于是S△ABP：S△CPB= S△APE：S△CPE=1：1， 于是S△ABP=S△CPB=3x，S△ACP=S△ABP=x, 3x+3x+x.=1, 于是x=. 从而S△CEP=S△ACP=·x=， 所以四边形PDCE的面积为+=。 评注 上面解题过程中得到的结论S△ABP：S△ACP = S△BDP：S△CDP=BD:DC 在处理面积问题时十分有用，一定要熟练掌握。 例4．（2004年第二届创新杯数学竞赛试题） P是凸四边形内的一点，P与四个顶点连结得到的四条线段的长分别为1，2，3，4。那么，这个四边形的面积的最大值为（ ）. （A） 10.5 （B）12 （C）12.5 （D） 15 解 我们先证明当一个三角形两边给定时, 在其夹角为90°时该三角形面积最大,如下图，在△ABC和△A1B1C1中, AB= A1B1=c，BC= B1C1=a。∠B≠90°,∠B1=90°.AD是△ABC的高，AD=h. 显然有ah ac，故△ABC的面积小于△A1B1C1的面积 所以在原题中P应是四边形对角线交点, 且对角线互相垂直, 这时四边形面积为(a＋b)(c＋d)(a, b, c, d是P到四个顶点的距离)注意到(1＋4)×(2＋3)＞(1＋3)×(2＋4)＞(1＋2)×(3＋4), 于是最大面积为×(1＋4)×(2＋3)＝12.5. 例5．直角三角形ABC的三边分别是AC=3,BC=4,AB=5. (1) 求斜边AB上的高CH; (2) 若三角形ABC中有一点P到三边的距离都为d,求d. 解 (1)S△ABC=AC·BC=ABCH，故 3×4=5CH， 于是CH=2.4. (2) 连结PA，PB，PC。因S△ABC=S△ABP+ S△BCP + S△CAP，故 AC·BC=AB·d+BC·d+CA·d, 将已知数代入，解得d=1. 例6．如图, AB∥CD∥EF, 求证: AC:CE=BD:DF. 证明 连结AD，BC，CF，DE则有AC:CE=S△ACD：S△EDC ， BD:DF=S△BCD + S△FCD但因AB∥CD∥EF，故S△ACD=S△BCD， S△EDC =S△FCD所以AC:CE=BD:DF.例7．平行四边形求证:S△DEC =16，S△FBD=25，求平行四边形 解 （1）证明：连结AD，BE，则有S△ADE=S△BDE， 于是AE：EC = S△ADE ：S△DEC = S△BDE ：S△DEC = BD：DC。 （2）同理可证：BF：FA = BD：DC 设S△ADE = S△ADF = x，则S△