(第14章平面直角坐标系和实数.docVIP

第7讲 平面直角坐标系与实数 赛点突破 1．平面直角坐标系 为了确定平面上点的位置，我们用互相垂直的有公共原点的两条数轴建立平 面直角坐标系。 平面上的每一个点，就和一对有序实数对应，这对有序实数称为点的坐标。 两条坐标轴将直角坐标平面分成四个象限，坐标轴不属于任何一个象限。 2．实数 无限不循环小数叫无理数，无理数不能用分数来表示。 实数包括有理数和无理数，实数和数轴上的点是一一对应的。直角坐标平面上的点是和一对有序实数一一对应的。 范例解密 例1．（1997年哈尔滨初中数学竞赛试题） P（a,b）是平面直角坐标系内的点，如果ab0,那么P的位置在 ；如果ab=0,那么P的位置在 ；如果a2+b2=0,那么P的位置在 。 解 当ab0时，a与b同号，这时P（a,b）的位置在第一象限或第三象限； 当ab=0时，a=0,或b=0，这时P（a,b）的位置在坐标轴上； 当a2+b2=0时，a=b=0，这时P（a,b）的位置在原点。 例2．（1999年第14届江苏省初中数学竞赛试题） 在直角坐标系中，已知点A（0，0），B（0，1），C（0，2），D（1，0），E（2，0）， F（1，1），G（1，2），H（2，1），K（2，2），则点A，B，C，D，E，F，G，H，K 中以其中四点为顶点的正方形有 个，以其中三点为顶点的直角三角形有 个。 解 先将这些点画在直角坐标系中： （1）面积为1的正方形如ABFD有4个；面积为2的正方形有1个：BGHD，面积为4的正方形有1个：ACKE；一共有6个正方形。 （2）在一个面积为1的正方形如ABFD中，有4个面积为的直角三角形； 在一个面积为4的正方形ACKE中，有4个面积为2直角三角形；在一个面积为 2的长方形如ACGD中，有6个面积为1直角三角形（形如ACG的4个，形如DBG 的2个）；故一共有4×4+4×1+6×4=44个直角三角形。 例3． 已知平行四边形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标是A（1，0）， B（3，1），C（2，3）。求第四个顶点的坐标。 解 如果平行四边形第4个顶点是D，且CD‖ BA，CD=BA，将线段AB平行移动， 当它的端点B移动到C点时，A点就移动到了D点。 因为点B移动到C点，沿水平方向移动了-1个单位，沿竖直方向移动了1 个单位，故将A点移动到B点，也要沿水平方向移动-1个单位，沿竖直方向移 动1个单位，从而D点的坐标为（1-1，0+1）即（0，1）； 同样，如果平行四边形第4个顶点是F，且CA‖ BF，CA=BF时，可以求得F 点的坐标为（2，-1）；如果平行四边形第4个顶点是E，且CE‖ AB，CE=AB时， 可以求得E点的坐标为（4，3）。 例4．（1989年第40届美国高中数学考试） 如图一个粒子在第一象限内移动，在第一分钟内它从原点运动到（1，0），而后它接着按按图所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后，这个粒子所处位置为（ ） （A）（35，44）（B）（36，45）（C）（37，45）（D）（44，35）（E）（45，36） 分析与解 我们先观察纵横坐标相等的点（它们是粒子运动时拐弯的地方）： 粒子运动到（0，0）时，用时0分钟； 粒子运动到（1，1）时，用时1×2=2分钟，将向左运动； 粒子运动到（2，2）时，用时2×3=6分钟，将向下运动； 粒子运动到（3，3）时，用时3×4=12分钟，将向左运动； 粒子运动到（4，4）时，用时4×5=20分钟，将向下运动； ………… 一般的规律是：粒子运动到（n，n）时，用时n(n+1)×5=20分钟，当n为 奇数时，将向左运动；当n为偶数时，将向下运动。 粒子运动到（44，44）时，用时44×45=1980分钟，将向下运动。再过9 分钟粒子从（44，44）向下运动9个单位，这时粒子所在的坐标是（44，35）。 所以，应该选D。 例5．①说明边长为1的正方形的对角线的长度为 ；②证明是无理数； 解 ①如图，四边形ABCD是边长为1的正方形。它的面积是1。三角形ABC的面积是，将4个与三角形ABC一样大的三角形拼成一个正方形ACFE，它的面积是2，所以它的边长为AC=，也就是说正方形ABCD的对角线的长度为 。 ②用反证法． 假设不是无理数，则是有理数，设=（p,q是互质的正整数）， 两边平方后整理得 p2=2q2. 所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入上式得 4m2＝2q2，q2＝2m2， 所以q也是偶数，p与q均为