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主成分分析 一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。 在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三新变量就取代了原17个变量。根据经济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退的趋势F3。更有意思的是，这三个变量其实都是可以直接测量的。 主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂关系进行简化分析的方法。 在社会经济的研究中，为了全面系统的分析和研究问题，必须考虑许多经济指标，这些指标能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征，但在某种程度上存在信息的重叠，具有一定的相关性。 主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。 很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容易得多。 (2) 基于相关系数矩阵还是基于协方差矩阵做主成分分析。当分析中所选择的经济变量具有不同的量纲，变量水平差异很大，应该选择基于相关系数矩阵的主成分分析。 （3） 选择几个主成分。主成分分析的目的是简化变量，一般情况下主成分的个数应该小于原始变量的个数。关于保留几个主成分，应该权衡主成分个数和保留的信息。 （4）如何解释主成分所包含的经济意义。 满足如下的条件： 如果我们将xl 轴和x2轴先平移，再同时按逆时针方向旋转?角度，得到新坐标轴Yl和Y2。Yl和Y2是两个新变量。 根据旋转变换的公式： 旋转变换的目的是为了使得n个样品点在Yl轴方向上的离 散程度最大，即Yl的方差最大。变量Yl代表了原始数据的绝大 部分信息，在研究某经济问题时，即使不考虑变量Y2也无损大局。经过上述旋转变换原始数据的大部分信息集中到Yl轴上，对数据中包含的信息起到了浓缩作用。 Yl，Y2除了可以对包含在Xl，X2中的信息起着浓缩作用之外，还具有不相关的性质，这就使得在研究复杂的问题时避免了信息重叠所带来的虚假性。二维平面上的个点的方差大部分都归结在Yl轴上，而Y2轴上的方差很小。Yl和Y2称为原始变量x1和x2的综合变量。Y简化了系统结构，抓住了主要矛盾。 §3 主成分的推导及性质 设 为一个p维随机向量，并 假定二阶矩存在，记 ， 。 目标：求其主成分 二、载荷矩阵 二、基于相关系数矩阵 如果变量有不同的量纲，则必须基于相关系数矩阵进行主成分分析。 例一 应收账款是指企业因对外销售产品、材料、提供劳务及其它原因，应向购货单位或接受劳务的单位收取的款项，包括应收销货款、其它应收款和应收票据等。出于扩大销售的竞争需要，企业不得不以赊销或其它优惠的方式招揽顾客，由于销售和收款的时间差，于是产生了应收款项。应收款赊销的效果的好坏，不仅依赖于企业的信用政策，还依赖于顾客的信用程度。由此，评价顾客的信用等级，了解顾客的综合信用程度，做到“知己知彼，百战不殆”，对加强企业的应收账款管理大有帮助。某企业为了了解其客户的信用程度，采用西方银行信用评估常用的5C方法，5C的目的是说明顾客违约的可能性。 1、品格（用X1表示），指顾客的信誉，履行偿还义务的可能性。企业可以通过过去的付款记录得到此项。 2、能力（用X2表示），指顾客的偿还能力。即其流动资产的数量和质量以及流动负载的比率。顾客的流动资产越多，其转化为现金支付款项的能力越强。同时，还应注意顾客流动资产的质量，看其是否会出现存货过多过时质量下降，影响其变现能力和支付能力。 3、资本（用X3表示），指顾客的财务势力和财务状况，表明顾客可能偿还债务的背景。 4、附带的担保品（用X4表示），指借款人以容易出售的资产做抵押。 5、环境条件（用X5表示），指企业的外部因素，即指非企业本身能控制或操纵的因素。 首先并抽取了10家具有可比性的同类企业作为样本，又请8位专家分别给10个企业的5个指标打分，然后分别计算企业5个指标的平均值，如表。 Total Variance = 485 Eigenvalues of the Covariance Matr