8.演绎、分析与综合.ppt

第二章 数学的论证方法 数学发现方法是将具有一定数量和质量的经验材料,进行加工处理,成为数学材料,从而形成数学猜想,建立数学命题.这样得到的命题是否正确,以及可靠的程度,都具有很大的或然性.因此,对所得命题,还必须有一个判断和论证的过程,来确定命题是否正确,以确保所得命题的严密性和科学性.这个过程就称为数学的论证方法. 第一节 演绎方法 1、演绎法的含义 由一般性原理推导出关于特殊情况下结论的思维方法叫演绎法，也称为演绎推理，它是以某类事物的一般判断为前题作出对这类事物的特殊判断的推理方法。 演绎推理有多种类型，最常用的是三段论。一个三段论由大前题、小前题和结论三个简单的判断组成。大前题是一个一般性原理，小前题给出一个适合一般性原理的特殊场合，结论是大前题和小前题的逻辑结果。三段论推理的基本模式为： 大前题：一切M是P 小前题：S是M ----------------------------- 结论：S是P 例如: 大前题：所有的有理数是实数 小前题：分数是有理数 ------------------------------- 结论：分数是实数 三段论推理的根据，用集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，则S中所有元素都具有性质P。 由于演绎推理的特殊性结论包含在一般性原理之中，因而它的前题和结论之间有着必然的联系。如果前题正确，推理又符合逻辑，那么由演绎推理所得的结论就一定正确。因此，演绎推理是一种必然性推理。它是数学证明常用的推理方法与工具。 2、演绎法的运用 运用演绎推理的三段论推理时，首先应该指明一个大前题，其次根据条件指明小前题，最后得出一个结论。上述过程重复进行下去，至到推出所需结论为止。 例1 已知:在△ABC中, ∠C=90°. 求证:∠A+∠B=90° 证明: 因为“三角形内角和为180°”,(大前题) 而 “∠A、∠B、∠C是△ABC三内角”,（小前题） 所以“∠A+∠B+∠C = 180°”， （结论） 又因为 “等量减等量差相等”， （大前题） 而 ∠A+∠B+∠C = 180°，∠C=90° （小前提） 所以 ∠A+∠B+∠C)-∠C =180°- 90°（结论） 即∠A+∠B=90° 上述演绎推理的过程分为若干小步骤,每步都是一个演绎推理,并写明了三段论的三个判断.在实际表述证明时,不必要这样去做,可将很多前题省略去. 省略大(小)前题:采用“因为…所以…”形式. 例如,因为正方形是菱形,所以对角线互相垂直.(这里省略了大前题:菱形的对角线相互垂直) 例1可简单地写成: 因为∠A、∠B、∠C是△ABC三内角,（小前题） 所以∠A+∠B+∠C = 180° (结论) 因为∠C=90° （小前题） 所以∠A+∠B=90° (结论) 3、演绎法是进行逻辑证明的工具 演绎推理是从关于事物的一般性知识出发所进行的推理，因而在推理形式合乎逻辑的前题下，推理的结论直接取决于前题。所以可以选择可靠的命题作为前题，经过推理来证明某个命题。同时将一般的原理应用到特殊(个别)能够推出特殊的结果. 第二节 分析法与综合法 一、分析法 分析法是从问题的结论出发寻找其成立的充分(要)条件的证明方法,是由结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法.即所谓“执果索因”的方法. 分析法的逻辑模式为:若要……,只需……,即要证明什么,为此只需证明什么. 例1 如图,在等腰△ABC的两腰AB及AC上,分别取两点D及E,使AD=AE,F为BE与CD的交点,证明:FB=FC. 证明:若要FB=FC, 只需∠FBC=∠FCB, 只需∠ABE=∠ ACD; 只需△ABE≌△ACD. 而由于AB=AC,AE=AE, ∠A=∠A, 所以, △ABE≌△ACD是成立的,于是命题得证. 由此可知