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引入 引入 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 拓扑排序算法 关键路径 关键路径 关键路径 关键路径 关键路径 关键路径 关键路径 上机练习 上机练习 上机练习 * * * 第七节 拓扑排序与关键路径 AOV网 在日常生活中,一项大的工程可以看作是由若干个子工程(这些子工程称为“活动” )组成的集合,这些子工程(活动)之间必定存在一些先后关系,即某些子工程(活动)必须在其它一些子工程(活动)完成之后才能开始,我们可以用有向图来形象地表示这些子工程(活动)之间的先后关系,子工程(活动)为顶点,子工程(活动)之间的先后关系为有向边,这种有向图称为“顶点活动网络” ,又称“AOV网” 。 1 2 3 5 6 7 8 9 4 在AOV网中,有向边代表子工程(活动)的先后关系,我们把一条有向边起点的活动成为终点活动的前驱活动,同理终点的活动称为起点活动的后继活动。而只有当一个活动全部的前驱全部都完成之后,这个活动才能进行。例如在上图中,只有当工程1完成之后,工程2、3、4、5、6才能开始进行。只有当2、3、4全部完成之后,7才能开始进行。 一个AOV网必定是一个有向无环图,即不应该带有回路。否则,会出现先后关系的自相矛盾。 1 2 3 4 上图就是一个出现环产生自相矛盾的情况。4是1的前驱,想完成1,必须先完成4。3是4的前驱,而2是3的前驱,1又是2的前驱。最后造成想完成1,必须先完成1本身,这显然出现了矛盾。 拓扑排序算法,只适用于AOV网(有向无环图)。 把AOV网中的所有活动排成一个序列, 使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面,这个过程称为“拓扑排序”,所得到的活动序列称为“拓扑序列”。 一个AOV网的拓扑序列是不唯一的,例如下面的这张图,它的拓扑序列可以是:ABCDE,也可以是ACBDE,或是ADBCE。在下图所示的AOV网中,工程B和工程C显然可以同时进行,先后无所谓;但工程E却要等工程B、C、D都完成以后才能进行。 A B C E D 构造拓扑序列可以帮助我们合理安排一个工程的进度,由AOV网构造拓扑序列具有很高的实际应用价值。 算法思想: 构造拓扑序列的拓扑排序算法思想很简单: 选择一个入度为0的顶点并输出 然后从AOV网中删除此顶点及以此顶点为起点的所有关联边; 重复上述两步,直到不存在入度为0的顶点为止。 若输出的顶点数小于AOV网中的顶点数,则输出“有回路信息”,否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列 从第四步可以看出,拓扑排序可以用来判断一个有向图是否有环。只有有向无环图才存在拓扑序列。 算法实现: a) 数据结构:indgr[i]: 顶点i的入度; stack[ ]: 栈 b) 初始化:top=0 (栈顶指针置零) c) 将初始状态所有入度为0的顶点压栈 d) I=0 (计数器) e) while 栈非空(top0) i. 栈顶的顶点v出栈;top-1; 输出v;i++; ii. for v的每一个后继顶点u 1. indgr[u]--; u的入度减1 2. if (u的入度变为0) 顶点u入栈 f) 算法结束 这个程序采用栈来找出入度为0的点,栈里的顶点,都是入度为0的点。 我们结合上图详细讲解: A B C D 开始时,只有A入度为0,A入栈。 栈:A B C D 栈顶元素A出栈并输出A,A的后继B、C入度减1,相当于删除A的所有关联边 栈:空 拓扑序列:A B C
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