Ch1-4克氏法则.ppt

性质 行列式按行(列)展开 行列式的计算 50 按某行可拆为两个的和; 均可化为 三角行列式 小结 ? 特殊行列式 ? 一般地 六条 20 互换两行变号; 30 可提取某行公因子; 60 某行的k 倍加到另一行上值不变. 10 转置值不变; 40 有两行成比例值为0; 对角、三角 行列式 每行之和相等的(对称)行列式 奇数阶反对称行列式 结合性质降阶 建立递推公式数学、归纳法等 余子式 代数余子式 数字行列式 低阶字母行列式 n 阶数字或字母行列式 对行成立的对列亦然 范德蒙德行列式 引例 二元一次方程组的解 §3 克拉默法则 考虑方程组 与二元方程组类似,n 元方程组的解也可用行列式表示. (1) 则(1)有唯一解, 其中 克 第 j 列 若(1)的系数行列式 且 拉默法则 ? 定理中包含着三个结论： 方程组有解 解是唯一的 解可以由公式(2)给出. ——解的存在性； ——解的唯一性； ? 仅限于方程个数等于未知量个数的方程组. 也就是说克氏法则并没有实际计算的使用价值, 例1(P15例11) 解方程组 ? 因为要计算n个n+1阶行列式,当阶数较高时计算量相当大,所以用克氏法则解方程组并不实用. 解 类似可得 因此我们干脆抛开克氏法则的计算公式,只取其理论价值 但它仍具有极为重要的理论价值. ——根的存在性和唯一性 叙述如下： 则其系数行列 式必为零. 零解 则它只 有惟一零解. 定义 称方程组 为齐次线性方程组. 总有 解 定理4 定理5 若齐次线性方程组(2)的系数行列式 D≠0, 定理5 ? 判定行列式为零的充分条件 逆否命题 零解 若方程组(1)无解 ? 将在第三章证明 若方程组(1)的系数行列式不为零, 则它有唯一解. 定理4 ? 或有两个不同的解, 若齐次线性方程组(2)有非零解 若存在n个不全为0的数是(2)的解,则称其为(2)的非零解. (2) ? 我们最感兴趣的是齐次线性方程组(2)何时有非零解？ 是一个更好用的判定行列式是否为零的充要条件. 定理5 ? 定理5的逆否命题定理5? 在应用上十分重要, 作为定理5的应用,讨论含参变量的齐次方程的求解问题. 则它只 有惟一零解. 若齐次线性方程组(2)的系数行列式 D≠0, 定理5 ? 判定行列式为零的充分条件 ? 将在第三章证明 若齐次线性方程组(2)有非零解 故当 ? = 2, 5, 8 时，方程组有非零解. 若方程组有非零解, 例2(P25 例16) 解 则其系数行列式为零, 即 按定义展开, 仅主对角线上元素的 乘积为奇数, 有惟一零解. 例3 证明方程组 证 故方程组有惟一零解. 奇数与偶数的代数和不为零 (其中 aij 都是整数) 因其系数行列式为 其余的乘积均为偶数 例4(P23例15) 设曲线 通过四点 求系数 解 把四个点的坐标分别代入所给方程， 得线性方程组 其系数行列式: 范德蒙行列式 由定理4 , 据克拉默法则,有 所求曲线方程为 D ? 0 有唯一解. 小结 克莱姆法则 若(1)无解或有两不同的解, 则其系数行列式 D 必为零 若(2)有非零解，则其系数行列式 D = 0 若(2)的系数行列式 D≠0 , 则它有唯一零解 若(1)的系数行列式 D≠0 , 则它有唯一解 ( i = 1, 2,…, n ) (1) (2) ( i = 1, 2,…, n ) 非齐次线性组 齐次线性组 本章学习要求 1. 了解全排列的逆序数、奇偶性, 对换的性质