Ch3-2矩阵的秩.ppt

§2 矩阵的秩 定义2(P65Def4) 定义3(P66) 例1(P62例16) 定理1(P67Th2) 秩是矩阵的一个非常重要数字特征 3. 初等变换求秩 例2(P68例6) 设 例3(P69例7) 设 4. 矩阵秩的性质 50 60 记忆： 例5(P70例9) 证明： 若R(Am?n)= n， 结论 小结 * * * * * 称为矩阵 A 的 k 阶子式. 次序而得到的 k 阶行列式, 位于这些行列交叉处的 k2个元素，不改变它们在 A中所处的位置 在 m×n 矩阵 A 中, 定义1(P65D3) 例如， m×n 矩阵A 的 k 阶子式共有 个. 一般地： 3 阶子式 2 阶子式 在研究初等变换时,我们看到了变换中矩阵有些不变的东西: 任取其 k 行 k 列(k ? m , k ? n), ? k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式的区别! ——矩阵非零的行数、 标准型中左上角 Er 的阶数. 而在数学的研究中,不变量总是担当重要的角色. ??? 1. 概念 ⑵ 若 A 中有一个 r 阶子式不为零， 若矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D ; 数 r 称为矩阵 A的秩， ? 即 A 中所有非零的子式的最高阶数. 则称 D 为 A 的最高阶非零子式， 显然只要 A 不是零阵，就有 R(A) 0. ⑴ R(A m×n ) ? min{ m , n }； 则 R(A)? r ； 若 A 中所有 r 阶子式全为零， 则 R(A) r ； 规定: R(O) = 0 . ⑶ R(A) = R(AT ), 且所有 r+1 阶子式(如果存在的话)全等于 0, ⑷ 若方阵 A 的行列式 ? 0 ? R(A)= n . 基本性质： 记为 R(A). 秩是矩阵的一个重要数字特征 R(-A) = R(A). ? 则称 A 为满秩矩阵； 设 A 为 n 阶方阵， 单位阵 E 是满秩矩阵， 是降秩矩阵. ? 满秩阵同于可逆阵. 若 R(A) n，则称 A 为降秩矩阵. 若 R(A)= n， ② 满秩阵的行列式 ① n 阶满秩阵化为行阶梯形时有多少非零行？ ≠ — n 行. ? 求矩阵 A 和 B 的秩. 而 行阶梯形 初等变换是否保持矩阵的秩不变? 秩等于其非零的行数 阶梯形易求秩!!! 化阶梯形求秩! ? 则取 为 所在的行列构成 A B: ～ 即初等变换不改变矩阵的秩. 若 A～B, 则 R(A)= R(B), 只需证在初等行变换下： R(B) ≤ R(A), 且 R(B) ≥ R(A) A B: ～ 只须证经一次初等行变换: R(B)? R(A) 只证行变换的情形. A B: ～ 即证 B 中也有 r 阶非零子式 往证 B 有 r 阶子式 (由于初等变换可逆) 则取 为 所在的行列构成 2. 初等变换与秩的关系 证 kDr, Dr含第 i 行 Dr, Dr不含第 i 行 ? 0 A ～ 用初等变换将A化为 梯形阵即可得其秩 初等变换不改变矩阵的秩 因为初等变换不改变矩阵的秩, 故等价矩阵的秩相等. 推论(P67) 若存在可逆矩阵 P,Q , 同型且秩相等的矩阵? 定理的等式表达 秩相等的矩阵等价吗？ 不一定！ 同型且秩相等 标准型相同 等价 由于初等变换可用矩阵乘法等式表示，所以即有 一定等价！ 则 R(A)= R(B). 使得 PAQ =B ， (或 PA=B,或 AQ =B) ? 乘满秩阵不改变矩阵的秩 ～ 根据定理,求矩阵的秩,只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形,行梯形阵中非零行的行数就是该矩阵的秩． 求 的秩,并求一个最高阶非零子式. 例2(P67例5) 解 因为行梯形阵有 3 个非零行, 故 R(A) = 3 ; ∴ D3 是 A 的最高阶非零子式. 还存在其它最高阶非零子式吗？ ?阶梯形非零首元所在的列所对应A的列中有A的最高阶非零式! 中含有r阶非零子式