(双曲线经典例题1.docVIP

【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ） A. B. C. D. 【解析】椭圆的长半轴为 双曲线的实半轴为 ，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为 【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率 右准线为.作于N，交双曲线右支于P， 连FP，则.此时 为最小. 在中，令，得取.所求P点的坐标为. （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为 点（1，3）代入：.代入（1）： 即为所求. 【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置. （3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄 将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用. 【例4】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1. 【证明】双曲线的离心率； 双曲线的离心率. ∴. （4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美 实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴. 【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为， 直线CD：y=m.代入（1）：.故有： . 取双曲线右顶点.那么： .即∠CBD=90°. 同理可证：∠CAD=90°. ● 通法 特法 妙法 （1）方程法——为解析几何正名 解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式. 【例6】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该 双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析1】设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，∵△是等边三角形，∴点代入双曲线方程： .化简得： . （∵e＞1，∴及舍去）故选D. 【解析2】连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知：. ∵. ∵e﹥1，∴取.选D. 【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段. （2）转换法——为解题化归立意 【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） A.eB.1e C.1e D.e 【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解. 【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线 的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上. ∵双曲线中，故取e.选D. （3）几何法——使数形结合带上灵性 【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ） A． B． C. D． 【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设； 于是， 故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°. ∴.选B. 【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的. 将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处. （4）设而不求——与借舟弃舟同理 减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. B. C