(数论的方法和技巧04数论中的存在性问题.docVIP

数论中的存在性问题 知识要点与基本方法 在数论问题中回答满足一些条件的某对象存在或不存在的问题我们称之为数论存在性问题．它与其它数学存在性问题在理论上是一样的，区别是，其内容是数论知识方面的． 基本方法: 解决数论存在性问题没有什么死的方法，也没有什么固定的程式，所用知识是普遍的，采取的方法也是灵活多样的． 但由于数论存在性问题是数学竞赛中难度较大的，并且又是常见的题型，因此，对其解决的方法我们给出大致的归纳如下： 1．反证法． 2．数学归纳法． 3．按模分类． 4．高斯函数． 5．试验，猜想，证明． 6．构造法． （1）按归纳方式构造 （2）用阶乘构造 （3）用非十进制记数构造 7．数论知识的综合运用． 赛题精讲 1．关于反证法 例1 已知n是已确定的正整数，是使满足的整数r与满足的整数k对应的函数，且当时，恒有．证明：存在整数，使恒成立． 【分析】 因n的大小不知道，函数f的对应关系情况复杂，故很难确定符合条件的m，不妨用反证法． 证明：若对任何的m，均有，则由和，可知．于是，，即，又．故，同理可得，…，，．这与矛盾． 故，存在整数，使． 2．关于数学归纳法 例2 在黑板上依次写出数a1=1，a2，a3，…，法则如下：如果为自然数且未写出过，则写，否则就写，证明：所有出现在该序列中的完全平方数都是由写在它前面的那个数加3得到的． 【分析】 关键是根据在黑板上写数的法则，归纳证明：时，，继而，考虑平方数被5除的余数特征． 证明：首先用归纳法证明如下断言：“当时，由1到n的所有自然数全都被写出，且，而对于任何，都必有．” 当n=5时，依据法则有 . 假定当时，由1到5m的所有整数均已被写出，且．于是，按下来的5个数就只能是， 如此即完成了归纳过程． 进而考虑到平方数被5除的余数只能是4、1和0，又显然出现在序列中的被5除余4，1和0的数，都是通过写在它前面的那个数加3得到的，因此命题得证． 例3 证明：存在无穷多个合数n，使得是n的倍数． 证明：∵只要x与y为不相等的整数，k为自然数，则 ∴要证可被n整除，注意到n为合数，可知，只要 ① ∴ 则当视，时，就有 可被整除 于是 ∴要①成立，只要 下面用归纳法证明：对一切自然数t，数都可被整数． 当时，结论显然 假设对时结论成立， 则当时，有 前一因子可被2整数，后一因子由归纳假设可知可被整除． ∴当时，可被整除． 从而对一切自然数t，数可被整除． ∴存在无穷多个合数n，使得，，则显然n为合数． 因此： 3．关于按模分类 按模分类可以实现“大”向“小”，“多”向“少”，“无限”向“有限”，“无序”向“有序”，“不定”向“确定”的转化． 例4 非常数的正整数无穷数列{an}满足递推关系或，n=1，2，…，求证：数列{an}中至少有一项为合数． 【分析】本题关键是考察an的取值情况，an的取值由a1确定，但a2可有2个取值，a3可有4个取值，……，an可有个取值，因此，无法确定an．用什么办法可把不定的递推关系转化成确定的递推关系呢？我们相到了“模”．因an均为奇数，故按mod 2分类不行，可考虑mod 3． 证明：由于{an}是递增数列，不妨设（否则去掉前面若干项即可）． (i)若(mod 3)，则，得证． (ii)若(mod 3)，a1为质数（若a1为合数已得证） 对，有(mod 3)，得证， 对，有(mod 3)，从而， 对，有(mod 3)，得证， 对，有(mod 3)，从而， …或者得证，或者(mod 3)． 若都有(mod 3) 则 于是，从而 应用费马小定理，得(mod a1) ∴ 于是为合数，得证． (iii)若(mod 3)，可类似于(ii)进行讨论． 4．关于高斯函数的应用 叫高斯函数，记号[x]表示不超过x的最大整数．如，，等等．含有记号[x]的数学问题，一方面因为它是整数，所以经常与数论问题联系在一起，再则[x]满足不等式，因而借助于不等式又容易使问题得到解决． 数论问题中有一类是与高斯函数有关的存在性问题，解决是应抓住高斯函数的特殊性解题．下面的例子还得注意归纳法的应用． 例5 设非负整数列a1, a2, …, a1999，对于任意的整数i, j，且，有，证明：存在实数x，使得对于n=1，2，…，1999，有． 分析与证明：本题是证明存在x，使，根据高斯函数定义，应有 即 这个不等式应对n=1，2，…，1999都成立．于是，x应该同时属于1999个区间, ，可以想象出来，如果x存在，则x应为的最大者． 我们取 这样，只要证明对一切{1，2，…，1999}，都有 即可，也就是 （2） 我们采用数学归纳法证明这个不等式． 当时，式（2）成立． 设m, n