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第二章 基本初等函数（I） 第一节 指数函数 一、重点 1、分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质; 2、指数函数的的概念和性质。 二、难点 1、根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化； 2、用数形结合的方法从具体到一般探索、概括指数函数的性质。 三、重要概念 （一）初中知识 根式的概念； 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 （二）高中知识 1、根式的概念 一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中1，且∈*；式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）。 2、指数函数：形如 的函数叫指数函数。 其中：定义域R;底数是常数；指数是自变量。 四、知识点 （一）初中知识 整数指数幂的运算性质： （二）高中知识 1、根式的性质： ⑴当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示; ⑵当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（0）; ⑶; ⑷当是奇数时，; 当是偶数时，; ⑸负数没有偶次方根； ⑹0的任何次方根都是0，记作]。 2、有理数指数幂 ⑴有关概念的规定： 注意：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数;同时，整数指数幂的运算性质也推广到了有理数指数幂。 ⑵有理指数幂的运算性质： 3、无理指数幂 一般地，无理数指数幂是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 4、指数函数的图像和性质 5、指数函数的特点： ⑴指数函数的解析式：y = ax ⑵ax的系数是1; ⑶指数必须是单个x; ⑷底数a0，且a11。 五、小结 根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则。 六、技巧 1、根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数 指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程。 2、指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论。 3、单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0a1时，x→+∞，y→0；当a1时，x→-∞,y→0;当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。 4、画指数函数y＝ax的图象，应抓住三个关键点： (1，a)、 (0,1)、。 5、在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解。 6、根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果。但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 7、失误与防范： ⑴指数函数y＝ax (a0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与0a1来研究。 ⑵对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围。 七、举例 题型一：指数式与根式的计算 技巧:先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。 [例1]计算⑴－(－1)0－ 解　⑴原式＝－2－1－ ＝(－2)－1－(－2)＝－1. ⑵原式＝[2×(－6)÷(－3)] ＝4ab0＝4a. 题型二：指数函数图象及性质的应用 技巧：⑴指数函数图象经过定点的实质是利用了a0＝1 (a≠0)，故应令幂指数等于0求定点的坐标． ⑵将方程解的问题转化为两函数图象的交点问题，这是数形结合思想的应用。 [例2]如下图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y 轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C。若AC平行于y轴，求点A的坐标． 解　设C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AC∥y轴， ∴x1＝a，y1＝＝2a， 即A(a, 2a)，又BC∥x轴． ∴y2＝4a，y2＝＝4a. ∴x2＝2a，即B(2a,4